Question Number 214319 by golsendro last updated on 05/Dec/24
$$\:\:\:\:\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{10x}+\mathrm{3}}{\mathrm{10x}−\mathrm{3}}\:\right)=\:\frac{\mathrm{10}}{\mathrm{3}}\:\mathrm{x} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{f}\left(\mathrm{4}\right).\mathrm{f}\left(\mathrm{6}\right).\mathrm{f}\left(\mathrm{8}\right).\mathrm{f}\left(\mathrm{10}\right)…\mathrm{f}\left(\mathrm{2024}\right)=? \\ $$
Answered by A5T last updated on 05/Dec/24
$$\frac{\mathrm{10}{y}+\mathrm{3}}{\mathrm{10}{y}−\mathrm{3}}={x}\Rightarrow\mathrm{10}{y}+\mathrm{3}=\mathrm{10}{xy}−\mathrm{3}{x} \\ $$$${y}=\frac{−\mathrm{3}−\mathrm{3}{x}}{\mathrm{10}−\mathrm{10}{x}} \\ $$$$\Rightarrow{f}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{10}}{\mathrm{3}}\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{10}}\right)\left(\frac{\mathrm{1}+{x}}{{x}−\mathrm{1}}\right)=\frac{\mathrm{1}+{x}}{{x}−\mathrm{1}} \\ $$$${f}\left({x}\right)×{f}\left({x}+\mathrm{2}\right)×…=\frac{\cancel{\mathrm{1}+{x}}}{{x}−\mathrm{1}}×\frac{\cancel{{x}+\mathrm{3}}}{\cancel{{x}+\mathrm{1}}}×\frac{{x}+\mathrm{5}}{\cancel{{x}+\mathrm{3}}}×… \\ $$$$\Rightarrow{f}\left(\mathrm{4}\right)\centerdot{f}\left(\mathrm{6}\right)\centerdot{f}\left(\mathrm{8}\right)\centerdot{f}\left(\mathrm{10}\right)\centerdot\centerdot\centerdot{f}\left(\mathrm{2024}\right)=\frac{\mathrm{1}+\mathrm{2024}}{\mathrm{4}−\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{2025}}{\mathrm{3}} \\ $$