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If-x-a-2-bc-y-b-2-ac-z-c-2-ab-Find-ax-by-cz-x-y-z-

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Question Number 214456 by hardmath last updated on 09/Dec/24
If (x/(a^2 − bc)) = (y/(b^2 − ac)) = (z/(c^2 − ab)) Find: ((ax + by + cz)/(x + y + z)) = ?
$$\mathrm{If}\:\:\:\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\:\mathrm{bc}}\:=\:\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\:\mathrm{ac}}\:=\:\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\:\mathrm{ab}} \\ $$$$\mathrm{Find}:\:\:\:\frac{\mathrm{ax}\:+\:\mathrm{by}\:+\:\mathrm{cz}}{\mathrm{x}\:+\:\mathrm{y}\:+\:\mathrm{z}}\:=\:? \\ $$
Commented by Ghisom last updated on 09/Dec/24
a+b+c
$${a}+{b}+{c} \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 09/Dec/24
let (x/(a^2 − bc)) = (y/(b^2 − ac)) = (z/(c^2 − ab))=k x=k(a^2 −bc) , y=k(b^2 −ac) , z=k(c^2 −ab) ((ax + by + cz)/(x + y + z)) =((ak(a^2 −bc)+bk(b^2 −ac)+ck(c^2 −ab))/(k(a^2 −bc)+k(b^2 −ac)+k(c^2 −ab))) =((a^3 −abc+b^3 −abc+c^3 −abc)/(a^2 −bc+b^2 −ac+c^2 −ab)) =((a^3 +b^3 +c^3 −3abc)/(a^2 +b^2 +c^2 −ab−bc−ca)) =(((a+b+c)(a^2 +b^2 +c^2 −ab−bc−ca))/(a^2 +b^2 +c^2 −ab−bc−ca)) =a+b+c
$${let}\:\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\:\mathrm{bc}}\:=\:\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\:\mathrm{ac}}\:=\:\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\:\mathrm{ab}}={k} \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{k}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{bc}\right)\:,\:\mathrm{y}=\mathrm{k}\left(\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{ac}\right)\:,\:\mathrm{z}=\mathrm{k}\left(\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{ab}\right) \\ $$$$\: \\ $$$$\:\:\frac{\mathrm{ax}\:+\:\mathrm{by}\:+\:\mathrm{cz}}{\mathrm{x}\:+\:\mathrm{y}\:+\:\mathrm{z}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{ak}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{bc}\right)+\mathrm{bk}\left(\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{ac}\right)+\mathrm{ck}\left(\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{ab}\right)}{\mathrm{k}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{bc}\right)+\mathrm{k}\left(\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{ac}\right)+\mathrm{k}\left(\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{ab}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{3}} −\mathrm{abc}+\mathrm{b}^{\mathrm{3}} −\mathrm{abc}+\mathrm{c}^{\mathrm{3}} −\mathrm{abc}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{bc}+\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{ac}+\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{ab}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{3}} +\mathrm{b}^{\mathrm{3}} +\mathrm{c}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3abc}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{ab}−\mathrm{bc}−\mathrm{ca}} \\ $$$$=\frac{\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\cancel{\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{ab}−\mathrm{bc}−\mathrm{ca}\right)}}{\cancel{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{ab}−\mathrm{bc}−\mathrm{ca}}} \\ $$$$=\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c} \\ $$
Commented by hardmath last updated on 09/Dec/24
cool dear professor
$$\mathrm{cool}\:\mathrm{dear}\:\mathrm{professor} \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 11/Dec/24
AnOther Way If (x/(a^2 − bc)) = (y/(b^2 − ac)) = (z/(c^2 − ab)) Find: ((ax + by + cz)/(x + y + z)) = ? (x/y)=((a^2 − bc)/(b^2 − ac)) , (z/y)=((c^2 − ab)/(b^2 − ac)) ((ax + by + cz)/(x + y + z)) =((a((x/y))+b+c((z/y)))/((x/y)+1+(z/y))) =((a(((a^2 − bc)/(b^2 − ac)))+b+c(((c^2 − ab)/(b^2 − ac))))/(((a^2 − bc)/(b^2 − ac))+1+((c^2 − ab)/(b^2 − ac)))) =((a^3 −abc+b^3 −abc+c^3 −abc)/(a^2 − bc+b^2 − ac+c^2 − ab)) =((a^3 +b^3 +c^3 −3abc)/(a^2 +b^2 +c^2 − ab− bc− ac)) =(((a+b+c)(a^2 +b^2 +c^2 − ab− bc− ac))/(a^2 +b^2 +c^2 − ab− bc− ac)) =a+b+c
$$\mathrm{AnOther}\:\mathrm{Way} \\ $$$$\mathrm{If}\:\:\:\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\:\mathrm{bc}}\:=\:\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\:\mathrm{ac}}\:=\:\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\:\mathrm{ab}} \\ $$$$\mathrm{Find}:\:\:\:\frac{\mathrm{ax}\:+\:\mathrm{by}\:+\:\mathrm{cz}}{\mathrm{x}\:+\:\mathrm{y}\:+\:\mathrm{z}}\:=\:? \\ $$$$\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}=\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\:\mathrm{bc}}{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\:\mathrm{ac}}\:\:,\:\:\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{y}}=\frac{\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\:\mathrm{ab}}{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\:\mathrm{ac}} \\ $$$$\: \\ $$$$\:\:\frac{\mathrm{ax}\:+\:\mathrm{by}\:+\:\mathrm{cz}}{\mathrm{x}\:+\:\mathrm{y}\:+\:\mathrm{z}}\:=\frac{\mathrm{a}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}\right)+\mathrm{b}+\mathrm{c}\left(\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{y}}\right)}{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}+\mathrm{1}+\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{y}}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{a}\left(\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\:\mathrm{bc}}{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\:\mathrm{ac}}\right)+\mathrm{b}+\mathrm{c}\left(\frac{\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\:\mathrm{ab}}{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\:\mathrm{ac}}\right)}{\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\:\mathrm{bc}}{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\:\mathrm{ac}}+\mathrm{1}+\frac{\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\:\mathrm{ab}}{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\:\mathrm{ac}}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{3}} −\mathrm{abc}+\mathrm{b}^{\mathrm{3}} −\mathrm{abc}+\mathrm{c}^{\mathrm{3}} −\mathrm{abc}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\:\mathrm{bc}+\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\:\mathrm{ac}+\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\:\mathrm{ab}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{3}} +\mathrm{b}^{\mathrm{3}} +\mathrm{c}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3abc}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\:\mathrm{ab}−\:\mathrm{bc}−\:\mathrm{ac}} \\ $$$$=\frac{\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\:\mathrm{ab}−\:\mathrm{bc}−\:\mathrm{ac}\right)}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\:\mathrm{ab}−\:\mathrm{bc}−\:\mathrm{ac}} \\ $$$$=\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c} \\ $$

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