Question Number 216077 by MATHEMATICSAM last updated on 27/Jan/25
$$\mathrm{Find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{largest}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{non}\:\mathrm{negative} \\ $$$$\mathrm{integer}\:{p}\:\mathrm{for}\:\mathrm{which}\: \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\:\left\{\frac{−\:{px}\:+\:\mathrm{sin}\left({x}\:−\:\mathrm{1}\right)\:+\:{p}}{{x}\:+\:\mathrm{sin}\left({x}\:−\:\mathrm{1}\right)\:−\:\mathrm{1}}\right\}^{\frac{\mathrm{1}\:−\:{x}}{\mathrm{1}\:−\:\sqrt{{x}}}} \:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:. \\ $$
Answered by mahdipoor last updated on 27/Jan/25
$${ln}\left({y}\right)=\left(\frac{\mathrm{1}−{x}}{\mathrm{1}−\sqrt{{x}}}\right){ln}\left(\frac{{sin}\left({x}−\mathrm{1}\right)+{p}\left({x}−\mathrm{1}\right)}{{sin}\left({x}−\mathrm{1}\right)+\left({x}−\mathrm{1}\right)}\right) \\ $$$$\Rightarrow\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{1}−{x}}{\mathrm{1}−\sqrt{{x}}}=\mathrm{1}+\sqrt{{x}}=\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\:\frac{{sin}\left({x}−\mathrm{1}\right)+{p}\left({x}−\mathrm{1}\right)}{{sin}\left({x}−\mathrm{1}\right)+\left({x}−\mathrm{1}\right)}=\frac{\mathrm{0}}{\mathrm{0}}\:\Rightarrow\:{hopital}\:\Rightarrow \\ $$$$\Rightarrow\:=\frac{{cos}\left({x}−\mathrm{1}\right)+{p}}{{cos}\left({x}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}}=\frac{{p}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\:{ln}\left({y}\right)={ln}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)=\mathrm{2}×{ln}\left(\frac{{p}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\: \\ $$$$\Rightarrow\:{p}=\mathrm{0} \\ $$