Question Number 216408 by MrGaster last updated on 07/Feb/25
$$\int_{−\mathrm{1}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{{x}}\sqrt{\frac{\mathrm{1}+{x}}{\mathrm{1}−{x}}}\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}\right){dx} \\ $$
Commented by MrGaster last updated on 07/Feb/25
$${I}=\int_{−\mathrm{1}} ^{+\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{{x}}\sqrt{\frac{\mathrm{1}+{x}}{\mathrm{1}−{x}}}\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}\right){dx} \\ $$$${I}=\int_{−\mathrm{1}} ^{+\mathrm{1}} \frac{−\mathrm{1}}{{x}}\sqrt{\frac{\mathrm{1}−{x}}{\mathrm{1}+{x}}}\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}\right){dx} \\ $$$$=\int_{−\mathrm{1}} ^{+\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{{x}}\sqrt{\frac{\mathrm{1}+{x}}{\mathrm{1}+{x}}}\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}\right){dx} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\left(\mathrm{1}+{x}\right)+\left(\mathrm{1}+{x}\right)}{\:\sqrt{\left(\mathrm{1}+{x}\right)\left(\mathrm{1}+{x}\right)}}\Rightarrow\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{1}−{x}\mathrm{2}}} \\ $$$${I}=\int_{−\mathrm{1}} ^{+\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{{x}\sqrt{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }}\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}\right){dx}\:\left({factorize}\right) \\ $$$$\Rightarrow\frac{−\mathrm{2}\pm\sqrt{\mathrm{4}−\mathrm{8}}}{\mathrm{2}}=\frac{−\mathrm{2}\pm{zi}}{\mathrm{2}}\:\frac{{i}−\mathrm{1}}{−{i}−\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow\frac{{i}+\mathrm{1}}{−{i}+\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{ln}\frac{\left({i}−\mathrm{1}−{x}\overset{\mathrm{part}\:\boldsymbol{\mathrm{A}}} {\right)}\left(−{i}−\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{part}\:\boldsymbol{\mathrm{B}}} }{\left({i}+\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{part}\:−\boldsymbol{\mathrm{B}}} \left(−{i}+\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{part}\:−\boldsymbol{\mathrm{A}}} } \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{ln}\left({i}−\mathrm{1}−{x}\right)^{\boldsymbol{\mathrm{A}}} +\mathrm{ln}\left(−{i}−\mathrm{1}−{x}\right)^{\boldsymbol{\mathrm{B}}} −\mathrm{ln}\left({i}+\mathrm{1}−{x}\right)^{−\boldsymbol{\mathrm{B}}} −\mathrm{ln}\left(−{i}+\mathrm{1}−{x}\overset{−\boldsymbol{\mathrm{A}}} {\right)} \\ $$$$\begin{array}{|c|}{\mathrm{so},\mathrm{we}\:\mathrm{need}\:\mathrm{to}\:\mathrm{solve}\:\mathrm{lnte}{g}\mathrm{ra}{l}\:\mathrm{like}\:\int_{−\mathrm{1}} ^{+\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{{x}\sqrt{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }}\mathrm{ln}\left(\lambda−{x}\right){dx}}\\\hline\end{array} \\ $$$$\ldots\ldots \\ $$