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x-y-7-x-3-y-3-133-x-y-

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Question Number 217659 by ArshadS last updated on 17/Mar/25
x+y=7 ∧ x^3 +y^3 =133; x,y=?
$${x}+{y}=\mathrm{7}\:\wedge\:{x}^{\mathrm{3}} +{y}^{\mathrm{3}} =\mathrm{133};\:{x},{y}=? \\ $$
Answered by Frix last updated on 17/Mar/25
2+5=7 8+125=133
$$\mathrm{2}+\mathrm{5}=\mathrm{7} \\ $$$$\mathrm{8}+\mathrm{125}=\mathrm{133} \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 18/Mar/25
Using a^3 +b^3 =(a+b)(a^2 −ab+b^2 ) x+y=7 ∧ x^3 +y^3 =133; x,y=? (x+y)(x^2 −xy+y^2 )=133 (7)(x^2 −xy+y^2 )=133 x^2 −xy+y^2 =133/7=19 (x+y)^2 −3xy=19 7^2 −3xy=19 3xy=49−19=30 xy=10 y=10/x x+((10)/x)=7 x^2 −7x+10=0 (x−2)(x−5)=0 x=2,5 y=((10)/2),((10)/5)=5,2 (x,y)={(2,5),(5,2)}
$$\mathrm{Using} \\ $$$$\mathrm{a}^{\mathrm{3}} +\mathrm{b}^{\mathrm{3}} =\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{ab}+\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$${x}+{y}=\mathrm{7}\:\wedge\:{x}^{\mathrm{3}} +{y}^{\mathrm{3}} =\mathrm{133};\:{x},{y}=? \\ $$$$\left({x}+{y}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} −{xy}+{y}^{\mathrm{2}} \right)=\mathrm{133} \\ $$$$\left(\mathrm{7}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} −{xy}+{y}^{\mathrm{2}} \right)=\mathrm{133} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} −{xy}+{y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{133}/\mathrm{7}=\mathrm{19} \\ $$$$\left({x}+{y}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{xy}=\mathrm{19} \\ $$$$\mathrm{7}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{xy}=\mathrm{19} \\ $$$$\mathrm{3}{xy}=\mathrm{49}−\mathrm{19}=\mathrm{30} \\ $$$$\:\:{xy}=\mathrm{10} \\ $$$$\:\:\:{y}=\mathrm{10}/{x} \\ $$$${x}+\frac{\mathrm{10}}{{x}}=\mathrm{7} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}{x}+\mathrm{10}=\mathrm{0} \\ $$$$\left({x}−\mathrm{2}\right)\left({x}−\mathrm{5}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${x}=\mathrm{2},\mathrm{5} \\ $$$${y}=\frac{\mathrm{10}}{\mathrm{2}},\frac{\mathrm{10}}{\mathrm{5}}=\mathrm{5},\mathrm{2} \\ $$$$\left({x},{y}\right)=\left\{\left(\mathrm{2},\mathrm{5}\right),\left(\mathrm{5},\mathrm{2}\right)\right\} \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 18/Mar/25
Using a^3 +b^3 +c^3 −3abc =(a+b+c)(a^2 +b^2 +c^2 −ab−bc−ca) x+y=7 ∧ x^3 +y^3 =133; x,y=? x^3 +y^3 +1−3xy=133+1−3xy (x+y+1)(x^2 +y^2 +1−(xy+y+x))=134−3xy (7+1)((x+y)^2 −3xy+1−(x+y))=134−3xy 8(7^2 −3xy+1−7)=134−3xy 8(43−3xy)=134−3xy 344−24xy=134−3xy 21xy=210 xy=10 x+y=7 (x,y)∈{(2,5),(5,2)
$$\mathrm{Using} \\ $$$$\mathrm{a}^{\mathrm{3}} +\mathrm{b}^{\mathrm{3}} +\mathrm{c}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3abc} \\ $$$$\:\:\:=\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{ab}−\mathrm{bc}−\mathrm{ca}\right) \\ $$$${x}+{y}=\mathrm{7}\:\wedge\:{x}^{\mathrm{3}} +{y}^{\mathrm{3}} =\mathrm{133};\:{x},{y}=? \\ $$$${x}^{\mathrm{3}} +{y}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}−\mathrm{3}{xy}=\mathrm{133}+\mathrm{1}−\mathrm{3}{xy} \\ $$$$\left({x}+{y}+\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} +{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}−\left({xy}+{y}+{x}\right)\right)=\mathrm{134}−\mathrm{3}{xy} \\ $$$$\left(\mathrm{7}+\mathrm{1}\right)\left(\left({x}+{y}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{xy}+\mathrm{1}−\left({x}+{y}\right)\right)=\mathrm{134}−\mathrm{3}{xy} \\ $$$$\mathrm{8}\left(\mathrm{7}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{xy}+\mathrm{1}−\mathrm{7}\right)=\mathrm{134}−\mathrm{3}{xy} \\ $$$$\mathrm{8}\left(\mathrm{43}−\mathrm{3}{xy}\right)=\mathrm{134}−\mathrm{3}{xy} \\ $$$$\mathrm{344}−\mathrm{24}{xy}=\mathrm{134}−\mathrm{3}{xy} \\ $$$$\mathrm{21}{xy}=\mathrm{210} \\ $$$${xy}=\mathrm{10} \\ $$$${x}+{y}=\mathrm{7} \\ $$$$\left({x},{y}\right)\in\left\{\left(\mathrm{2},\mathrm{5}\right),\left(\mathrm{5},\mathrm{2}\right)\right. \\ $$
Commented by ArshadS last updated on 19/Mar/25
Grateful for multiple solutions.
$${Grateful}\:{for}\:{multiple}\:{solutions}. \\ $$

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