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Solve-x-2-3x-2-x-2-8x-15-x-2-5x-6-x-2-10x-24-

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Question Number 217888 by ArshadS last updated on 23/Mar/25
Solve: ((x^2 −3x+2)/(x^2 −8x+15))=((x^2 −5x+6)/(x^2 −10x+24))
$${Solve}: \\ $$$$\frac{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{x}+\mathrm{2}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{8}{x}+\mathrm{15}}=\frac{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}{x}+\mathrm{6}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{10}{x}+\mathrm{24}} \\ $$
Answered by bagjahebat last updated on 23/Mar/25
(((x−1)(x−2))/((x−5)(x−3)))=(((x−2)(x−3))/((x−4)(x−6))) (x−1)(x−2)(x−4)(x−6)=(x−2)(x−3)(x−5)(x−3) (x−1)(x−4)(x−6)=(x−3)^2 (x−5) (x^2 −5x+4)(x−6)=(x^2 −6x+9)(x−5) x^3 −6x^2 −5x^2 +30x+4x−24=x^3 −5x^2 −6x^2 +30x+9x−45 x^3 −11x^2 +34x−24=x^3 −11x^2 +39x−45 34x−24=39x−45 34x−39x=−45+24 −5x=−21 x=((21)/5)
$$\frac{\left({x}−\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{2}\right)}{\left({x}−\mathrm{5}\right)\left({x}−\mathrm{3}\right)}=\frac{\left({x}−\mathrm{2}\right)\left({x}−\mathrm{3}\right)}{\left({x}−\mathrm{4}\right)\left({x}−\mathrm{6}\right)} \\ $$$$\left({x}−\mathrm{1}\right)\cancel{\left({x}−\mathrm{2}\right)}\left({x}−\mathrm{4}\right)\left({x}−\mathrm{6}\right)=\cancel{\left({x}−\mathrm{2}\right)}\left({x}−\mathrm{3}\right)\left({x}−\mathrm{5}\right)\left({x}−\mathrm{3}\right) \\ $$$$\left({x}−\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{4}\right)\left({x}−\mathrm{6}\right)=\left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} \left({x}−\mathrm{5}\right) \\ $$$$\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}{x}+\mathrm{4}\right)\left({x}−\mathrm{6}\right)=\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}{x}+\mathrm{9}\right)\left({x}−\mathrm{5}\right) \\ $$$${x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{6}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{30}{x}+\mathrm{4}{x}−\mathrm{24}={x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{30}{x}+\mathrm{9}{x}−\mathrm{45} \\ $$$$\cancel{{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{11}{x}^{\mathrm{2}} }+\mathrm{34}{x}−\mathrm{24}=\cancel{{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{11}{x}^{\mathrm{2}} }+\mathrm{39}{x}−\mathrm{45} \\ $$$$\mathrm{34}{x}−\mathrm{24}=\mathrm{39}{x}−\mathrm{45} \\ $$$$\mathrm{34}{x}−\mathrm{39}{x}=−\mathrm{45}+\mathrm{24} \\ $$$$−\mathrm{5}{x}=−\mathrm{21} \\ $$$${x}=\frac{\mathrm{21}}{\mathrm{5}} \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 23/Mar/25
(((x−1)(x−2))/((x−3)(x−5)))=(((x−2)(x−3))/((x−4)(x−6))) (x−1)(x−2)(x−4)(x−6)−(x−2)(x−3)^2 (x−5)=0 (x−2)((x−1)(x−4)(x−6)−(x−3)^2 (x−5))=0 x−2=0 ∣ (x−1)(x−4)(x−6)−(x−3)^2 (x−5)=0 x=2 x^3 −11x^2 +34x−24−x^3 +11x^2 −39x+45=0 −5x+21=0⇒x=((21)/5)
$$\frac{\left({x}−\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{2}\right)}{\left({x}−\mathrm{3}\right)\left({x}−\mathrm{5}\right)}=\frac{\left({x}−\mathrm{2}\right)\left({x}−\mathrm{3}\right)}{\left({x}−\mathrm{4}\right)\left({x}−\mathrm{6}\right)} \\ $$$$\left({x}−\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{2}\right)\left({x}−\mathrm{4}\right)\left({x}−\mathrm{6}\right)−\left({x}−\mathrm{2}\right)\left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} \left({x}−\mathrm{5}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\left({x}−\mathrm{2}\right)\left(\left({x}−\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{4}\right)\left({x}−\mathrm{6}\right)−\left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} \left({x}−\mathrm{5}\right)\right)=\mathrm{0} \\ $$$${x}−\mathrm{2}=\mathrm{0}\:\mid\:\left({x}−\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{4}\right)\left({x}−\mathrm{6}\right)−\left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} \left({x}−\mathrm{5}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${x}=\mathrm{2}\: \\ $$$${x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{11}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{34}{x}−\mathrm{24}−{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{11}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{39}{x}+\mathrm{45}=\mathrm{0} \\ $$$$−\mathrm{5}{x}+\mathrm{21}=\mathrm{0}\Rightarrow{x}=\frac{\mathrm{21}}{\mathrm{5}} \\ $$$$ \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 23/Mar/25
A Tricky Method ((x^2 −3x+2)/(x^2 −8x+15))−1=((x^2 −5x+6)/(x^2 −10x+24))−1 ((x^2 −3x+2)/(x^2 −8x+15))−1=((x^2 −5x+6)/(x^2 −10x+24))−1 ((5x−13)/(x^2 −8x+15)) = ((5x−18)/(x^2 −10x+24)) ((x^2 −10x+24)/(x^2 −8x+15))−1 = ((5x−18)/(5x−13))−1 ((−2x+9)/(x^2 −8x+15))=((−5)/(5x−13)) ((2x−9)/(x^2 −8x+15))=(5/(5x−13)) 5x^2 −40x+75=10x^2 −71x+117 5x^2 −31x+42=0 x=((31±(√(961−840)))/(10)) =((31±11)/(10))=((21)/5),2
$$\mathrm{A}\:\mathrm{Tricky}\:\mathrm{Method} \\ $$$$\frac{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{x}+\mathrm{2}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{8}{x}+\mathrm{15}}−\mathrm{1}=\frac{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}{x}+\mathrm{6}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{10}{x}+\mathrm{24}}−\mathrm{1} \\ $$$$\frac{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{x}+\mathrm{2}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{8}{x}+\mathrm{15}}−\mathrm{1}=\frac{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}{x}+\mathrm{6}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{10}{x}+\mathrm{24}}−\mathrm{1} \\ $$$$\frac{\mathrm{5}{x}−\mathrm{13}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{8}{x}+\mathrm{15}}\:=\:\frac{\mathrm{5}{x}−\mathrm{18}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{10}{x}+\mathrm{24}} \\ $$$$\frac{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{10}{x}+\mathrm{24}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{8}{x}+\mathrm{15}}−\mathrm{1}\:=\:\frac{\mathrm{5}{x}−\mathrm{18}}{\mathrm{5}{x}−\mathrm{13}}−\mathrm{1} \\ $$$$\frac{−\mathrm{2}{x}+\mathrm{9}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{8}{x}+\mathrm{15}}=\frac{−\mathrm{5}}{\mathrm{5}{x}−\mathrm{13}} \\ $$$$\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{9}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{8}{x}+\mathrm{15}}=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{5}{x}−\mathrm{13}} \\ $$$$\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{40}{x}+\mathrm{75}=\mathrm{10}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{71}{x}+\mathrm{117} \\ $$$$\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{31}{x}+\mathrm{42}=\mathrm{0} \\ $$$${x}=\frac{\mathrm{31}\pm\sqrt{\mathrm{961}−\mathrm{840}}}{\mathrm{10}} \\ $$$$\:\:\:\:=\frac{\mathrm{31}\pm\mathrm{11}}{\mathrm{10}}=\frac{\mathrm{21}}{\mathrm{5}},\mathrm{2} \\ $$$$ \\ $$

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