Menu Close

Solve-x-x-1-2-x-x-1-2-6-

Tinku Tara 0 Comments
Pin




Question Number 217911 by Rasheed.Sindhi last updated on 23/Mar/25
Solve ((x/(x−1)))^2 +((x/(x+1)))^2 =6
$${Solve} \\ $$$$\left(\frac{{x}}{{x}−\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\frac{{x}}{{x}+\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{6} \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 23/Mar/25
((x/(x−1)))^2 +((x/(x+1)))^2 =6 ((x/(x−1)))^2 −1+((x/(x+1)))^2 −1=4 ((x/(x−1))−1)((x/(x−1))+1)+((x/(x+1))−1)((x/(x+1))+1)=4 (1/(x−1))∙((2x−1)/(x−1))+((−1)/(x+1))∙((2x+1)/(x+1))=4 (((2x−1)(x+1)^2 −(2x+1)(x−1)^2 )/((x^2 −1)^2 ))=4 (2x−1)(x^2 +2x+1)−(2x+1)(x^2 −2x+1)=4(x^4 −2x^2 +1) ▶2x^3 +4x^2 +2x−x^2 −2x−1 −2x^3 +4x^2 −2x−x^2 +2x−1 =4x^4 −8x^2 +4 ▶3x^2 −1 +3x^2 −1 =4x^4 −8x^2 +4 ▶6x^2 −2=4x^4 −8x^2 +4 ▶ 4x^4 −14x^2 +6=0 ▶2x^4 −7x^2 +3=0 ▶2x^4 −6x^2 −x^2 +3=0 ▶2x^2 (x^2 −3)−(x^2 −3) ▶(x^2 −3)(2x^2 −1) ▶x=±(√3) ∨ x=±(1/( (√2)))=((±(√2) )/2) ▶x∈{(√3) ,−(√3) , ((√2)/2) ,−((√2)/2)}
$$\left(\frac{{x}}{{x}−\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\frac{{x}}{{x}+\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{6} \\ $$$$\left(\frac{{x}}{{x}−\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}+\left(\frac{{x}}{{x}+\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}=\mathrm{4} \\ $$$$\left(\frac{{x}}{{x}−\mathrm{1}}−\mathrm{1}\right)\left(\frac{{x}}{{x}−\mathrm{1}}+\mathrm{1}\right)+\left(\frac{{x}}{{x}+\mathrm{1}}−\mathrm{1}\right)\left(\frac{{x}}{{x}+\mathrm{1}}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{4} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{1}}\centerdot\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{1}}+\frac{−\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{1}}\centerdot\frac{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{1}}=\mathrm{4} \\ $$$$\frac{\left(\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}\right)\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }=\mathrm{4} \\ $$$$\left(\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}\right)−\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{4}\left({x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right) \\ $$$$\blacktriangleright\mathrm{2}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}−{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}−\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:−\mathrm{2}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}−{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}−\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:=\mathrm{4}{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{8}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4} \\ $$$$\blacktriangleright\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:+\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:=\mathrm{4}{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{8}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4} \\ $$$$\blacktriangleright\mathrm{6}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}=\mathrm{4}{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{8}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4} \\ $$$$\blacktriangleright\:\mathrm{4}{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{14}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6}=\mathrm{0} \\ $$$$\blacktriangleright\mathrm{2}{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{7}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}=\mathrm{0} \\ $$$$\blacktriangleright\mathrm{2}{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{6}{x}^{\mathrm{2}} −{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}=\mathrm{0} \\ $$$$\blacktriangleright\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} \left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\right)−\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\right) \\ $$$$\blacktriangleright\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right) \\ $$$$\blacktriangleright{x}=\pm\sqrt{\mathrm{3}}\:\vee\:{x}=\pm\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}=\frac{\pm\sqrt{\mathrm{2}}\:}{\mathrm{2}} \\ $$$$\blacktriangleright{x}\in\left\{\sqrt{\mathrm{3}}\:,−\sqrt{\mathrm{3}}\:,\:\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\:,−\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\right\} \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 23/Mar/25
x^2 (x+1)^2 +x^2 (x−1)^2 =6(x^2 −1)^2 x^2 {(x^2 +2x+1)+(x^2 −2x+1)}=6(x^4 −2x^2 +1) x^2 (2x^2 +2)=6x^4 −12x^2 +6 2x^4 +2x^2 =6x^4 −12x^2 +6 4x^4 −14x^2 +6=0 2x^4 −7x^2 +3=0 2x^4 −6x^2 −x^2 +3=0 2x^2 (x^2 −3)−(x^2 −3)=0 (x^2 −3)(2x^2 −1)=0 x=±(√3) ∨ x=±((√2)/2)
$${x}^{\mathrm{2}} \left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +{x}^{\mathrm{2}} \left({x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{6}\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} \left\{\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}\right)+\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}\right)\right\}=\mathrm{6}\left({x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right) \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\right)=\mathrm{6}{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{12}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6} \\ $$$$\mathrm{2}{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{6}{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{12}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6} \\ $$$$\mathrm{4}{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{14}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{2}{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{7}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{2}{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{6}{x}^{\mathrm{2}} −{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} \left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\right)−\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${x}=\pm\sqrt{\mathrm{3}}\:\vee\:{x}=\pm\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}} \\ $$

Pin

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *