Question Number 218036 by dscm last updated on 26/Mar/25
$${Solve} \\ $$$$\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{xy}\:=\:\mathrm{19}\: \\ $$$$\:\mathrm{x}\:+\:\mathrm{y}=\:\mathrm{5} \\ $$
Answered by Hanuda354 last updated on 26/Mar/25
$$\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{xy}\:=\:\mathrm{19}\: \\ $$$$\left({x}+{y}\right)^{\mathrm{2}} \:−\:{xy}\:=\:\mathrm{19} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{5}^{\mathrm{2}} \:−\:{xy}\:=\:\mathrm{19} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{25}\:−\:{xy}\:=\:\mathrm{19} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Leftrightarrow\:{xy}\:=\:\mathrm{6} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Then}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}: \\ $$$$\:\:\left({x},{y}\right)\:=\:\left(\mathrm{2},\mathrm{3}\right),\left(\mathrm{3},\mathrm{2}\right) \\ $$
Answered by dscm last updated on 26/Mar/25
$$\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{xy}\:=\:\mathrm{19}\:….\left({i}\right) \\ $$$$\:\mathrm{x}\:+\:\mathrm{y}=\:\mathrm{5}……\left({ii}\right) \\ $$$$\left({ii}\right)\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2xy}=\mathrm{25}….\left({iii}\right) \\ $$$$\left({iii}\right)−\left({i}\right):\:\mathrm{xy}=\mathrm{6} \\ $$$${Let}\:\mathrm{x}\:\&\:\mathrm{y}\:{are}\:{the}\:{roots}\:{of}\:{a}\:{quadratic}\:{equation} \\ $$$$\because\:\mathrm{x}+\mathrm{y}=\mathrm{5}\:\&\:\mathrm{xy}=\mathrm{6} \\ $$$$\therefore\:\mathcal{T}{he}\:{equation}\:{may}\:{be}\:{t}^{\mathrm{2}} −\left({x}+{y}\right){t}+{xy}=\mathrm{0} \\ $$$${Or}\:{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}{t}+\mathrm{6}=\mathrm{0}\Rightarrow{t}=\mathrm{2},\mathrm{3} \\ $$$$\therefore\:\left(\mathrm{x}=\mathrm{2}\:\wedge\:\mathrm{y}=\mathrm{3}\right)\:\vee\:\left(\mathrm{x}=\mathrm{3}\:\wedge\:\mathrm{y}=\mathrm{2}\right) \\ $$