Question Number 220854 by fantastic last updated on 20/May/25
$${Solve}\:{for}\:{x}\:\:\:{and}\:\:\:\:{y} \\ $$$$\mathrm{3}^{{x}} +\mathrm{3}^{{y}} =\mathrm{4},\:\:\mathrm{3}^{−{x}} +\mathrm{3}^{−{y}\:} =\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}} \\ $$
Answered by SdC355 last updated on 20/May/25
$$\mathrm{if}\:{x}=\mathrm{1}\:,\:{y}=\mathrm{0}\: \\ $$$$\mathrm{3}^{\mathrm{1}} +\mathrm{3}^{\mathrm{0}} =\mathrm{4}\:,\:\mathrm{3}^{−\mathrm{1}} +\mathrm{3}^{−\mathrm{0}} =\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}} \\ $$$${x}=\mathrm{0}\:,\:{y}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{3}^{\mathrm{0}} +\mathrm{3}^{\mathrm{1}} =\mathrm{4}\:,\:\mathrm{3}^{−\mathrm{0}} +\mathrm{3}^{−\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\therefore\left(\mathrm{1},\mathrm{0}\right)\:\mathrm{or}\:\left(\mathrm{0},\mathrm{1}\right) \\ $$
Commented by fantastic last updated on 20/May/25
$$\:{Can}\:{you}\:{answer}\:{it}\:{without}\:{guessing} \\ $$
Commented by fantastic last updated on 20/May/25
$$\mathrm{3}^{{x}} +\mathrm{3}^{{y}} =\mathrm{4}\:…\:\left(\mathrm{1}\right)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{3}^{−{x}} +\mathrm{3}^{−{y}} =\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\:…\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$${from}\:\left(\mathrm{2}\right)\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{{x}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{{y}} }=\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}} \\ $$$${or}\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{4}−\mathrm{3}^{{y}} \right)}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{{y}} }=\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{3}^{{x}} +\mathrm{3}^{{y}} =\mathrm{4}\:\therefore\mathrm{3}^{{x}} =\mathrm{4}−\mathrm{3}^{{y}} \right) \\ $$$${or}\:\frac{\mathrm{3}^{{y}} +\mathrm{4}−\mathrm{3}^{{y}} }{\left(\mathrm{4}−\mathrm{3}^{{y}} \right)\mathrm{3}^{{y}} }=\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}} \\ $$$${or}\:\frac{\mathrm{4}}{−\mathrm{3}^{\mathrm{2}{y}} +\mathrm{4}.\mathrm{3}^{{y}} }=\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}} \\ $$$${or}\:−\left(\mathrm{3}^{{y}} \right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}.\mathrm{3}^{{y}} =\mathrm{3} \\ $$$${or}\:−\left(\mathrm{3}^{{y}} \right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}.\mathrm{3}^{{y}} −\mathrm{3}=\mathrm{0} \\ $$$${or}\:−\left\{\left(\mathrm{3}^{{y}} \right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}.\mathrm{3}^{{y}} +\mathrm{3}\right\}=\mathrm{0} \\ $$$${or}\:\left(\mathrm{3}^{{y}} \right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}.\left(\mathrm{3}^{{y}} \right)+\mathrm{3}\:=\mathrm{0} \\ $$$${or}\:\left(\mathrm{3}^{{y}} \right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}.\mathrm{3}^{{y}} −\mathrm{3}^{{y}} +\mathrm{3}\:=\mathrm{0} \\ $$$${or}\:\mathrm{3}^{{y}} \left(\mathrm{3}^{{y}} −\mathrm{3}\right)−\mathrm{1}\left(\mathrm{3}^{{y}} −\mathrm{3}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${or}\:\left(\mathrm{3}^{{y}} −\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{3}^{{y}} −\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\therefore\mathrm{3}^{{y}} −\mathrm{1}\:=\mathrm{0}\:\:\:\:{or}\:\:\mathrm{3}^{{y}} −\mathrm{3}\:=\mathrm{0} \\ $$$${either}\:{y}=\mathrm{0}\:\:{or}\:{y}=\mathrm{1} \\ $$$${when}\:{y}=\mathrm{0}\:{then}\:{from}\:\left(\mathrm{1}\right)\:\:\:\:\mathrm{3}^{{x}} \:+\mathrm{3}^{\mathrm{0}} =\mathrm{4} \\ $$$${or}\:\mathrm{3}^{{x}} +\mathrm{1}=\mathrm{4} \\ $$$${or}\:\mathrm{3}^{{x}} =\mathrm{3} \\ $$$${or}\:{x}=\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$${if}\:{y}=\mathrm{1} \\ $$$${then}\:{from}\:\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{3}^{{x}} +\mathrm{3}^{\mathrm{1}} =\mathrm{4} \\ $$$${or}\:\mathrm{3}^{{x}} =\mathrm{1}=\mathrm{3}^{\mathrm{0}} \\ $$$${x}=\mathrm{0} \\ $$$${So}\:{x}=\mathrm{0}\:{when}\:{y}=\mathrm{1}\:\:\:{and}\:\:\:\:\:{x}=\mathrm{1}\:{when}\:{y}=\mathrm{0}\checkmark \\ $$$$ \\ $$
Answered by golsendro last updated on 20/May/25
$$\:\begin{cases}{{a}\:+\:{b}\:=\:\mathrm{4}}\\{\frac{{a}+{b}}{{ab}}\:=\:\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\:\Rightarrow\:{ab}\:=\:\mathrm{3}}\end{cases} \\ $$$$\:\:\:\begin{cases}{{a}\:=\:\mathrm{1}\:\wedge\:{b}\:=\:\mathrm{3}}\\{{a}\:=\:\mathrm{3}\:\wedge\:{b}\:=\:\mathrm{1}}\end{cases} \\ $$