Question Number 220857 by fantastic last updated on 20/May/25
$${Prove}\:{that}\:\mathrm{tan}\:\mathrm{20}^{\mathrm{0}} \mathrm{tan40}^{\mathrm{0}} \:\mathrm{tan}\:\mathrm{80}^{\mathrm{0}} =\mathrm{tan}\:\mathrm{60}^{\mathrm{0}} \\ $$
Answered by fantastic last updated on 20/May/25
![tan 20^0 tan40^0 tan 80^0 =((sin20^0 sin40^0 sin 80^0 )/(cos20^0 cos40^0 cos80^0 )) =((2sin^2 20^0 sin40^0 sin80^0 )/(sin 40^0 cos40^0 cos80^0 )) = ((4sin^2 20^0 sin 40^0 sin 80^0 )/(sin80^0 cos80^0 )) =((8sin^2 20^0 sin40^0 sin 80^0 )/(sin 160^0 )) =8sin20^0 sin 40^0 sin 80^(0 ) [∵sin 160^0 =sin (180^0 −20^0 )=sin 20^0 ] =4sin 20^0 [cos 40^0 −120^0 ] =4sin 20^0 [cos 40^0 +(1/2)] [∵cos 120^0 =cos (180^0 −20^0 )=−(1/2)] =2(sin 60^0 −sin 20^0 )+2sin 20^0 =2×((√3)/2) =(√3) =tan 60^0](https://www.tinkutara.com/question/Q220875.png)
$$\mathrm{tan}\:\mathrm{20}^{\mathrm{0}} \mathrm{tan40}^{\mathrm{0}} \:\mathrm{tan}\:\mathrm{80}^{\mathrm{0}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{sin20}^{\mathrm{0}} \:\mathrm{sin40}^{\mathrm{0}} \:\mathrm{sin}\:\mathrm{80}^{\mathrm{0}} }{\mathrm{cos20}^{\mathrm{0}} \:\mathrm{cos40}^{\mathrm{0}} \:\mathrm{cos80}^{\mathrm{0}} \:}\: \\ $$$$=\frac{\mathrm{2sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{20}^{\mathrm{0}} \:\mathrm{sin40}^{\mathrm{0}} \:\mathrm{sin80}^{\mathrm{0}} \:}{\mathrm{sin}\:\mathrm{40}^{\mathrm{0}} \mathrm{cos40}^{\mathrm{0}} \:\mathrm{cos80}^{\mathrm{0}} \:}\: \\ $$$$\:=\:\frac{\mathrm{4sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{20}^{\mathrm{0}} \mathrm{sin}\:\mathrm{40}^{\mathrm{0}} \mathrm{sin}\:\mathrm{80}^{\mathrm{0}} }{\mathrm{sin80}^{\mathrm{0}} \:\mathrm{cos80}^{\mathrm{0}} \:} \\ $$$$=\frac{\mathrm{8sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{20}^{\mathrm{0}} \mathrm{sin40}^{\mathrm{0}} \:\mathrm{sin}\:\mathrm{80}^{\mathrm{0}} }{\mathrm{sin}\:\mathrm{160}^{\mathrm{0}} }\:\:\: \\ $$$$=\mathrm{8sin20}^{\mathrm{0}} \:\mathrm{sin}\:\mathrm{40}^{\mathrm{0}} \mathrm{sin}\:\mathrm{80}^{\mathrm{0}\:\:\:} \:\:\:\:\:\:\:\:\left[\because\mathrm{sin}\:\mathrm{160}^{\mathrm{0}} =\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{180}^{\mathrm{0}} −\mathrm{20}^{\mathrm{0}} \right)=\mathrm{sin}\:\mathrm{20}^{\mathrm{0}} \right]\: \\ $$$$=\mathrm{4sin}\:\mathrm{20}^{\mathrm{0}} \left[\mathrm{cos}\:\mathrm{40}^{\mathrm{0}} −\mathrm{120}^{\mathrm{0}} \right]\: \\ $$$$=\mathrm{4sin}\:\mathrm{20}^{\mathrm{0}} \left[\mathrm{cos}\:\mathrm{40}^{\mathrm{0}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right]\:\:\:\left[\because\mathrm{cos}\:\mathrm{120}^{\mathrm{0}} =\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{180}^{\mathrm{0}} −\mathrm{20}^{\mathrm{0}} \right)=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right]\: \\ $$$$=\mathrm{2}\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{60}^{\mathrm{0}} −\mathrm{sin}\:\mathrm{20}^{\mathrm{0}} \right)+\mathrm{2sin}\:\mathrm{20}^{\mathrm{0}} \\ $$$$=\mathrm{2}×\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$=\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$=\mathrm{tan}\:\mathrm{60}^{\mathrm{0}} \\ $$