Question Number 221100 by Nicholas666 last updated on 24/May/25
$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{Prove}}; \\ $$$$\:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:+\infty} \:\frac{\mathrm{4}\centerdot\boldsymbol{\mathrm{cos}}\:\boldsymbol{{x}}\:\centerdot\:\sqrt[{\mathrm{6}\:\:}]{\boldsymbol{\mathrm{sinh}}\:\boldsymbol{{x}}\:}}{\boldsymbol{\mathrm{sinh}}\:\boldsymbol{{x}}\:+\:\boldsymbol{\mathrm{sinh}}\:\mathrm{3}\boldsymbol{{x}}\:+\:\mathrm{4}\:\boldsymbol{\mathrm{sinh}}^{\mathrm{2}} \:\boldsymbol{{x}}\:−\:\mathrm{2}\:\boldsymbol{\mathrm{sinh}}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{2}\boldsymbol{{x}}\:+\:\mathrm{4}\:\boldsymbol{\mathrm{sinh}}^{\mathrm{4}} \:\boldsymbol{{x}}\:+\:\mathrm{4}\:\boldsymbol{\mathrm{cosh}}^{\mathrm{4}} \boldsymbol{{x}}}\:\boldsymbol{\mathrm{d}{x}}\:=\:\frac{\boldsymbol{\pi}}{\:\sqrt{\mathrm{6}}\:+\:\mathrm{2}}\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$ \\ $$