Question Number 221416 by wewji12 last updated on 04/Jun/25
$$\mathrm{ex3}. \\ $$$$\mathrm{prove} \\ $$$${f}^{\left({n}\right)} \left(\alpha\right)=\frac{{n}!}{\mathrm{2}\pi\boldsymbol{{i}}}\:\oint_{\:\partial{S}} \:\frac{{f}\left({z}\right)}{\left({z}−\alpha\right)^{{n}+\mathrm{1}} }\:\mathrm{d}{z} \\ $$$$\mathrm{ex4}. \\ $$$$\mathrm{Let}\:{z}_{\mathrm{0}} \:\mathrm{be}\:\mathrm{any}\:\mathrm{point}\:\mathrm{interior}\:\mathrm{to}\:\mathrm{a}\:\mathrm{positively} \\ $$$$\mathrm{oriented}\:\mathrm{simple}\:\mathrm{closed}\:\mathrm{contour}\:\mathcal{C} \\ $$$$\mathrm{show}\:\mathrm{that} \\ $$$${a}.\:\oint_{{C}} \:\frac{\mathrm{d}{z}}{{z}−{z}_{\mathrm{0}} }=\mathrm{2}\pi\boldsymbol{{i}} \\ $$$$\mathrm{b}.\:\oint_{\:{C}} \frac{\mathrm{d}{z}}{\left({z}−{z}_{\mathrm{0}} \right)^{{n}+\mathrm{1}} }=\mathrm{0}\:,\:{n}\in\mathbb{R}^{+} \\ $$$$\mathrm{ex}\:\mathrm{5}. \\ $$$$\mathrm{Let}\:\mathcal{C}\:\mathrm{be}\:\mathrm{any}\:\mathrm{simple}\:\mathrm{closed}\:\mathrm{contour}, \\ $$$$\mathrm{described}\:\mathrm{in}\:\mathrm{the}\:\mathrm{positive}\:\mathrm{sense}\:\mathrm{in}\:\mathrm{the}\:{z}\:\mathrm{plane} \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{write}\: \\ $$$$\mathrm{g}\left({z}\right)=\:\oint_{\:\mathcal{C}} \:\frac{{s}^{\mathrm{3}} +\mathrm{2}{s}}{\left({s}−{z}\right)^{\mathrm{3}} }\:\mathrm{d}{s} \\ $$$$\mathrm{show}\:\mathrm{that}\:\mathrm{g}\left({z}\right)=\mathrm{6}\pi\boldsymbol{{i}}\:\mathrm{when}\:{z}\:\mathrm{is}\:\mathrm{inside}\:\mathcal{C}\:\mathrm{and} \\ $$$$\mathrm{that}\:\mathrm{g}\left({z}\right)=\mathrm{0}\:\mathrm{when}\:{z}\:\mathrm{is}\:\mathrm{outside} \\ $$