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if-i-1-n-x-r-i-j-0-n-a-j-x-n-i-show-that-i-1-n-tan-1-r-i-tan-1-a-1-a-3-a-5-a-0-a-2-a-4-

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Question Number 221447 by Nicholas666 last updated on 05/Jun/25
if Π_(i=1) ^n (x + r_i ) ≡ Σ_(j=0) ^n a_j x^(n−i) show that ; Σ_(i=1) ^n tan^(−1) r_i = tan^(−1) ((a_1 + a_3 + a_5 − ∙∙∙)/(a_0 − a_2 + a_4 −∙∙∙)) and Σ_(i=1) ^n tanh^(−1) r_i = tanh^(−1) ((a_1 + a_3 + a_5 + ∙∙∙)/(a_0 + a_2 + a_4 + ∙∙∙))
$$ \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{if}\:\:\:\:\:\:\:\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\:\left({x}\:+\:{r}_{{i}} \right)\:\equiv\:\underset{{j}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\:{a}_{{j}} {x}^{{n}−{i}} \: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{show}\:\mathrm{that}\:; \\ $$$$\:\:\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\:\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \:{r}_{{i}} \:=\:\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \:\frac{{a}_{\mathrm{1}} +\:{a}_{\mathrm{3}} \:+\:{a}_{\mathrm{5}} \:−\:\centerdot\centerdot\centerdot}{{a}_{\mathrm{0}} \:−\:{a}_{\mathrm{2}} \:+\:{a}_{\mathrm{4}} \:−\centerdot\centerdot\centerdot}\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{and} \\ $$$$\:\:\:\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\:\mathrm{tanh}^{−\mathrm{1}} \:{r}_{{i}} \:=\:\mathrm{tanh}^{−\mathrm{1}} \:\frac{{a}_{\mathrm{1}} \:+\:{a}_{\mathrm{3}} \:+\:{a}_{\mathrm{5}} \:+\:\centerdot\centerdot\centerdot}{{a}_{\mathrm{0}} \:+\:{a}_{\mathrm{2}} \:+\:{a}_{\mathrm{4}} \:+\:\centerdot\centerdot\centerdot}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$ \\ $$
Answered by MrGaster last updated on 05/Jun/25
Π_(i=1) ^n (x+r_i )=Σ_(j=0) ^n a_j x^(n−j) Π_(j=1) ^n (1+ir_i )=Σ_(j=0) ^n i^j a_j ℜ(Π_(i=1) ^n (1+ir_i ))=Σ_(k=0) ^(⌊(n/2⌋) (−1)^k a_(2k) Im(Π_(i=1) ^n (1+ir_i ))=Σ_(k=0) ^(⌊(n−1)/2⌋) (−1)^k a_(2k+1) arg(Π_(i=1) ^n (1+ir_i ))=Σ_(i=1) ^n tan^(−1) r_i tan(arg(Π_(i=1) ^n (1+ir_i ))=((lm(Π_(i=1) ^n (1+ir_i )))/(ℜ(Π_(i=1) ^n (1+ir_i )))) Σ_(i=1) ^n tan^(−1) r_i =tan^(−1) (((Σ_k (−1)^k a_(2k+1) )/(Σ_k (−1)^k a_(2k) ))) Π_(i=1) ^n (1+r_i )=Σ_(j=0) ^n a_j Π_(i=1) ^n (1−r_i )=Σ_(j=0) ^n (−1)^j a_j tanh(Σ_(i=1) ^n tanh^(−1) r_i )=((Π_(i=1) ^n (1+r_i )−Π_(i=1) ^n (1−r_i ))/(Π_(i=1) ^n (1+r_i )+Π_(i=1) ^n (1−r_i )))=((2Σ_(j ood) a_j )/(2Σ_(j even) a_j ))=((Σ_k a_(2k+1) )/(Σ_k a_(2k) )) Σ_(i=1) ^n tanh^(−1) r_i =tanh^(−1) (((Σ_k a_(2k+1) )/(Σ_k a_(2k) )))
$$\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\left({x}+{r}_{{i}} \right)=\underset{{j}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}{a}_{{j}} {x}^{{n}−{j}} \\ $$$$\underset{{j}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\left(\mathrm{1}+{ir}_{{i}} \right)=\underset{{j}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}{i}^{{j}} {a}_{{j}} \\ $$$$\Re\left(\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\left(\mathrm{1}+{ir}_{{i}} \right)\right)=\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{\lfloor\left({n}/\mathrm{2}\rfloor\right.} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}} {a}_{\mathrm{2}{k}} \\ $$$$\mathrm{Im}\left(\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\left(\mathrm{1}+{ir}_{{i}} \right)\right)=\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{\lfloor\left({n}−\mathrm{1}\right)/\mathrm{2}\rfloor} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}} {a}_{\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{arg}\left(\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\left(\mathrm{1}+{ir}_{{i}} \right)\right)=\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} {r}_{{i}} \\ $$$$\mathrm{tan}\left(\mathrm{arg}\left(\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\left(\mathrm{1}+{ir}_{{i}} \right)\right)=\frac{\mathrm{lm}\left(\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\left(\mathrm{1}+{ir}_{{i}} \right)\right)}{\Re\left(\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\left(\mathrm{1}+{ir}_{{i}} \right)\right)}\right. \\ $$$$\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} {r}_{{i}} =\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\underset{{k}} {\sum}\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}} {a}_{\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}} }{\underset{{k}} {\sum}\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}} {a}_{\mathrm{2}{k}} }\right) \\ $$$$\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\left(\mathrm{1}+{r}_{{i}} \right)=\underset{{j}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}{a}_{{j}} \\ $$$$\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\left(\mathrm{1}−{r}_{{i}} \right)=\underset{{j}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{j}} {a}_{{j}} \\ $$$$\mathrm{tanh}\left(\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\mathrm{tanh}^{−\mathrm{1}} {r}_{{i}} \right)=\frac{\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\left(\mathrm{1}+{r}_{{i}} \right)−\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\left(\mathrm{1}−{r}_{{i}} \right)}{\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\left(\mathrm{1}+{r}_{{i}} \right)+\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\left(\mathrm{1}−{r}_{{i}} \right)}=\frac{\mathrm{2}\underset{{j}\:\mathrm{ood}} {\sum}{a}_{{j}} }{\mathrm{2}\underset{{j}\:\mathrm{even}} {\sum}{a}_{{j}} }=\frac{\underset{{k}} {\sum}{a}_{\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}} }{\underset{{k}} {\sum}{a}_{\mathrm{2}{k}} } \\ $$$$\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\mathrm{tanh}^{−\mathrm{1}} {r}_{{i}} =\mathrm{tanh}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\underset{{k}} {\sum}{a}_{\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}} }{\underset{{k}} {\sum}{a}_{\mathrm{2}{k}} }\right) \\ $$

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