Question Number 221832 by MrGaster last updated on 11/Jun/25
![f′(x)=lim_(h→0) ((f(x+h)−f(x))/h) lim_(h→0) ((c−c)/h)=lim_(h→0) 0=0 lim_(h→0) (((x+h)^2 −x^2 )/h)=lim_(h→0) ((2xh+h^2 )/h)=lim_(h→0) (2x+h)=2x lim_(h→0) (((x+h)^n −x^n )/h)=lim_(h→0) ((Σ_(k=0) ^n ((n),(k) )x^(n−k) h^k −x^n )/h)=lim_(h→0) ((nx^(n−1) h+ ((n),(2) )x^(n−2) h^2 +…)/h)=lim_(h→0) (nx^(n−1) + ((n),(2) )x^(n−2) h+…) lim_(h→0) ((e^(x+h) −e^x )/h)=e^x lim_(h→0) (e^(h−1) /h)=e^x ∙1 lim_(h→0) ((e^h −1)/h)=lim_(k→0) (k/(ln(1+k)))=lim_(k→0) (1/((ln(1+k))/k))=lim_(k→0) (1/(ln((1+k)^(1/k) ))) =(1/(ln e))=(1/1)=1 lim_(h→0) ((sin(x+h)−sin x)/h)=lim_(h→0) ((sin x cos h+cos x sin h−sin x)/h)=lim_(h→0) (sin x((cos h−1)/h)+cos x((sin h)/h)) lim_(h→0) ((sin h)/h)=1 lim_(h→0) ((cos h−1)/h)=lim_(h→0) ((−2 sin^2 (h/2))/h)=lim_(h→0) −((sin^2 (h/2))/((h/2)^2 ))∙(((h/2)^2 )/h)=lim_(h→0) −(((sin(h/2))/(h/2)))^2 ∙(h/4)=−1∙0=0 lim_(h→0) (sin x∙0+cos x∙1)=cos x ∫_a ^b f(x)dx=lim_(n→∞) Σ_(i=1) ^n f(a+i((b−a)/n))((b−a)/n) ∫_a ^b x^m dx=lim_(n→∞) Σ_(k=1) ^n (k(b/n))^m (b/n)=b^(m+1) lim_(n→∞) (1/n)Σ_(k=1) ^n ((k/n))^m lim_(n→∞) Σ_(k=1) ^n ((k/n))^m (b/n)=lim_(n→∞) (((n^(m+1) /(m+1))+O(n^m ))/n^(m+1) )=lim_(n→∞) ((1/(m+1))+O((1/n)))=(1/(m+1)) ∫_a ^b x^m dx=b^(m+1) ∙(1/(m+1))=(b^(m+1) /(m+1)) ∫x^m dx=(x^(m+1) /(m+1))+C G(x)=∫_0 ^x f(t)dt G′(x)=lim_(h→0) ((G(x+h)−G(x))/h)=lim_(h→0) ((∫_x ^(x+h) f(t)dt)/h)=lim_(h→0) ((f(c_n )h)/h)=lim_(h→0) f(c_n )=f(x) ,c_h ∈[x,x+h] F(b)−F(a)=[∫_a ^b f(t)dt+C]−[∫_a ^a f(t)dt+C]=∫_a ^b f(t)dt−0=∫_a ^b f(t)dt](https://www.tinkutara.com/question/Q221832.png)
$${f}'\left({x}\right)=\underset{{h}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{{f}\left({x}+{h}\right)−{f}\left({x}\right)}{{h}} \\ $$$$\underset{{h}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{{c}−{c}}{{h}}=\underset{{h}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}0}=\mathrm{0} \\ $$$$\underset{{h}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\left({x}+{h}\right)^{\mathrm{2}} −{x}^{\mathrm{2}} }{{h}}=\underset{{h}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{2}{xh}+{h}^{\mathrm{2}} }{{h}}=\underset{{h}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\left(\mathrm{2}{x}+{h}\right)=\mathrm{2}{x} \\ $$$$\underset{{h}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\left({x}+{h}\right)^{{n}} −{x}^{{n}} }{{h}}=\underset{{h}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\begin{pmatrix}{{n}}\\{{k}}\end{pmatrix}{x}^{{n}−{k}} {h}^{{k}} −{x}^{{n}} }{{h}}=\underset{{h}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{{nx}^{{n}−\mathrm{1}} {h}+\begin{pmatrix}{{n}}\\{\mathrm{2}}\end{pmatrix}{x}^{{n}−\mathrm{2}} {h}^{\mathrm{2}} +\ldots}{{h}}=\underset{{h}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\left({nx}^{{n}−\mathrm{1}} +\begin{pmatrix}{{n}}\\{\mathrm{2}}\end{pmatrix}{x}^{{n}−\mathrm{2}} {h}+\ldots\right) \\ $$$$\underset{{h}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{{e}^{{x}+{h}} −{e}^{{x}} }{{h}}={e}^{{x}} \underset{{h}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{{e}^{{h}−\mathrm{1}} }{{h}}={e}^{{x}} \centerdot\mathrm{1} \\ $$$$\underset{{h}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{{e}^{{h}} −\mathrm{1}}{{h}}=\underset{{k}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{{k}}{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+{k}\right)}=\underset{{k}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{1}}{\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+{k}\right)}{{k}}}=\underset{{k}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{ln}\left(\left(\mathrm{1}+{k}\right)^{\mathrm{1}/{k}} \right)}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{ln}\:{e}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}=\mathrm{1} \\ $$$$\underset{{h}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{sin}\left({x}+{h}\right)−\mathrm{sin}\:{x}}{{h}}=\underset{{h}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{sin}\:{x}\:\mathrm{cos}\:{h}+\mathrm{cos}\:{x}\:\mathrm{sin}\:{h}−\mathrm{sin}\:{x}}{{h}}=\underset{{h}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\left(\mathrm{sin}\:{x}\frac{\mathrm{cos}\:{h}−\mathrm{1}}{{h}}+\mathrm{cos}\:{x}\frac{\mathrm{sin}\:{h}}{{h}}\right) \\ $$$$\underset{{h}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{sin}\:{h}}{{h}}=\mathrm{1} \\ $$$$\underset{{h}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{cos}\:{h}−\mathrm{1}}{{h}}=\underset{{h}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{−\mathrm{2}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left({h}/\mathrm{2}\right)}{{h}}=\underset{{h}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}−\frac{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left({h}/\mathrm{2}\right)}{\left({h}/\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }\centerdot\frac{\left({h}/\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }{{h}}=\underset{{h}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}−\left(\frac{\mathrm{sin}\left({h}/\mathrm{2}\right)}{{h}/\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} \centerdot\frac{{h}}{\mathrm{4}}=−\mathrm{1}\centerdot\mathrm{0}=\mathrm{0} \\ $$$$\underset{{h}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\left(\mathrm{sin}\:{x}\centerdot\mathrm{0}+\mathrm{cos}\:{x}\centerdot\mathrm{1}\right)=\mathrm{cos}\:{x} \\ $$$$\int_{{a}} ^{{b}} {f}\left({x}\right){dx}=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{f}\left({a}+{i}\frac{{b}−{a}}{{n}}\right)\frac{{b}−{a}}{{n}} \\ $$$$\int_{{a}} ^{{b}} {x}^{{m}} {dx}=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left({k}\frac{{b}}{{n}}\right)^{{m}} \frac{{b}}{{n}}={b}^{{m}+\mathrm{1}} \underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{1}}{{n}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(\frac{{k}}{{n}}\right)^{{m}} \\ $$$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(\frac{{k}}{{n}}\right)^{{m}} \frac{{b}}{{n}}=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\frac{{n}^{{m}+\mathrm{1}} }{{m}+\mathrm{1}}+{O}\left({n}^{{m}} \right)}{{n}^{{m}+\mathrm{1}} }=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{m}+\mathrm{1}}+{O}\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)\right)=\frac{\mathrm{1}}{{m}+\mathrm{1}} \\ $$$$\int_{{a}} ^{{b}} {x}^{{m}} {dx}={b}^{{m}+\mathrm{1}} \centerdot\frac{\mathrm{1}}{{m}+\mathrm{1}}=\frac{{b}^{{m}+\mathrm{1}} }{{m}+\mathrm{1}} \\ $$$$\int{x}^{{m}} {dx}=\frac{{x}^{{m}+\mathrm{1}} }{{m}+\mathrm{1}}+{C} \\ $$$${G}\left({x}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{{x}} {f}\left({t}\right){dt} \\ $$$${G}'\left({x}\right)=\underset{{h}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{{G}\left({x}+{h}\right)−{G}\left({x}\right)}{{h}}=\underset{{h}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\int_{{x}} ^{{x}+{h}} {f}\left({t}\right){dt}}{{h}}=\underset{{h}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{{f}\left({c}_{{n}} \right){h}}{{h}}=\underset{{h}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}{f}\left({c}_{{n}} \right)={f}\left({x}\right)\:,{c}_{{h}} \in\left[{x},{x}+{h}\right] \\ $$$${F}\left({b}\right)−{F}\left({a}\right)=\left[\int_{{a}} ^{{b}} {f}\left({t}\right){dt}+{C}\right]−\left[\int_{{a}} ^{{a}} {f}\left({t}\right){dt}+{C}\right]=\int_{{a}} ^{{b}} {f}\left({t}\right){dt}−\mathrm{0}=\int_{{a}} ^{{b}} {f}\left({t}\right){dt} \\ $$