Question Number 222275 by Nicholas666 last updated on 21/Jun/25
$$ \\ $$$$\:\:\mathrm{Prove}\:;\:\int_{−\pi} ^{\:\pi} \:\frac{{z}\:\mathrm{sin}\left({z}\right)\:}{\left(\mathrm{1}\:+\:{z}\:+\:\sqrt{\mathrm{1}\:+\:{z}^{\mathrm{2}} }\right)\sqrt{\mathrm{3}\:+\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left({z}\right)}}\:{dz}\:=\:\zeta\left(\mathrm{2}\right)\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$ \\ $$
Answered by MrGaster last updated on 21/Jun/25
$${I}=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\begin{pmatrix}{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\\{{n}}\end{pmatrix}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{{n}} }\int_{−\pi} ^{\pi} \frac{{z}\mathrm{sin}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} {z}}{\mathrm{1}+{z}+\sqrt{\mathrm{1}−{z}^{\mathrm{2}} }}\mathrm{d}{z} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\begin{pmatrix}{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\\{{n}}\end{pmatrix}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{{n}} }\centerdot\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\pi} {z}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} {z}\mathrm{d}{z} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\begin{pmatrix}{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\\{{n}}\end{pmatrix}\frac{\mathrm{1}}{{x}^{{n}} }\centerdot\pi\centerdot\frac{\mathrm{4}^{{n}} \left({n}!\right)^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)!} \\ $$$$=\frac{\pi}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{\mathrm{3}^{{n}} \left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\zeta\left(\mathrm{2}\right) \\ $$