Question Number 222532 by MrGaster last updated on 29/Jun/25
$$\mathrm{Prove}: \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{4}{n}} }\begin{pmatrix}{\mathrm{2}{n}}\\{{n}}\end{pmatrix}^{\mathrm{2}} \frac{\mathscr{K}_{{n}+\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{192}}{\pi}\mathfrak{I}\mathrm{Li}_{\mathrm{4}} \left(\frac{\mathrm{1}+{i}}{\mathrm{2}}\right)+\frac{\mathrm{16}}{\pi}\mathfrak{I}\mathrm{Li}_{\mathrm{3}} \left(\frac{\mathrm{1}+{i}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)+\frac{\mathrm{15}\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{8}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)^{\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{148}}{\pi}\beta\left(\mathrm{4}\right),\mathscr{K}_{{n}} =\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\ldots+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}} \\ $$