Question Number 223032 by MrGaster last updated on 13/Jul/25
$$ \\ $$$$\:\:\:\:\underset{{t}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{2}^{\mathrm{2024}} } {\prod}}\left(\mathrm{4sin}^{\mathrm{2}} \frac{{t}\pi}{\mathrm{2}^{\mathrm{2025}} }−\mathrm{3}\right) \\ $$
Answered by MrGaster last updated on 13/Jul/25
![n≜2025,m≜2^(n−1) =2^(2024) θ≜((tπ)/2^n ),t⊂{1,2,…,m} 4sin^2 θ_ι −3=−(2 cos((tπ)/m)+1) Π_(i=1) ^m (4sin^2 θ_t −3)=Π_(i=1) ^m (−(2cos((tπ)/m)+1))=(−1)^m Π_(t=1) ^m (2 cos((tπ)/m)+1) m=2^(2024) ∈2N,(−1)^m =1 Π_(t=1) ^m (2cos((tπ)/m)+1) ω≜e^(iπ/m) 2 cos ((iπ)/m)+1=ω^t +ω^(−t) +1=ω^(−t) (ω^(2t) +ω^t +1) Π_(t=1) ^m (2 cos ((tπ)/m)+1)=Π_(t=1) ^m ω^(−t) (ω^(2t) +ω^t +1)=(Π_(t=1) ^m ω^(−t) )Π_(t=1) ^m (ω^(2t) +ω^t +1) Π_(t=1) ^m ω^(−t) =ω^(−Σ_(t=1) ^m t) =ω^(−m(m+1)/2) =e^(−iπm(m+1)/(2m)) =e^(−iπ(m+1)/2) ω^(2t) +ω^t +1=((ω^(3t) −1)/(ω^t −1)),ω^t ≠1 Π_(t=1) ^m (ω^(2t) +ω^t +1)=Π_(t=1) ^m ((ω^(3t) −1)/(ω^t −1))=((Π_(t=1) ^m (ω^(3t) −1))/(Π_(t=1) ^m (ω^t −1))) Π_(t=1) ^m (ω^t −1)=(−1)^m Π_(t=1) ^m (1−ω^t ) Π_(t=1) ^m (ω^(3t) −1)=(−1)^m Π_(t=1) ^m (1−ω^(3t) ) ((Π_(t=1) ^m (ω^(3t) −1))/(Π_(t=1) ^m (ω^t −1)))=(((−1)^m Π_(t=1) ^m (1−ω^(3t) ))/((−1)^m Π_(t=1) ^m (1−ω^t )))=((Π_(t=1) ^m (1−ω^(3t) ))/(Π_(t=1) ^m (1−ω^t ))) ζ≜ω,Π_(t=1) ^m (1−ζ^(3t) )/Π_(t=1) ^m (1−ζ^t )=i Π_(t=1) ^m (ω^(2t) +ω^t +1)=i Π_(t=1) ^m (2 cos((tπ)/m)+1)=e^(−iπ(m+1)/2) ∙i=e^(−iπ) e^(−iπm) =(−i)^m m=2^(2024) ,p≜2024,m=2^p (−i)^m =(−i)^2^p =[(−i)^2 ]^2^(p−1) =(−1)^2^(p−1) p≥1,2^(p−1) ∈N,2^(p−1) ≥2^(2023) ∈2N Π_(t=1) ^m (4 sin^2 θ_t −3)=1](https://www.tinkutara.com/question/Q223033.png)
$${n}\triangleq\mathrm{2025},{m}\triangleq\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} =\mathrm{2}^{\mathrm{2024}} \\ $$$$\theta\triangleq\frac{{t}\pi}{\mathrm{2}^{{n}} },{t}\subset\left\{\mathrm{1},\mathrm{2},\ldots,{m}\right\} \\ $$$$\mathrm{4sin}^{\mathrm{2}} \theta_{\iota} −\mathrm{3}=−\left(\mathrm{2}\:\mathrm{cos}\frac{{t}\pi}{{m}}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\prod}}\left(\mathrm{4sin}^{\mathrm{2}} \theta_{{t}} −\mathrm{3}\right)=\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\prod}}\left(−\left(\mathrm{2cos}\frac{{t}\pi}{{m}}+\mathrm{1}\right)\right)=\left(−\mathrm{1}\right)^{{m}} \underset{{t}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\prod}}\left(\mathrm{2}\:\mathrm{cos}\frac{{t}\pi}{{m}}+\mathrm{1}\right) \\ $$$${m}=\mathrm{2}^{\mathrm{2024}} \in\mathrm{2}\mathbb{N},\left(−\mathrm{1}\right)^{{m}} =\mathrm{1} \\ $$$$\underset{{t}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\prod}}\left(\mathrm{2cos}\frac{{t}\pi}{{m}}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\omega\triangleq{e}^{{i}\pi/{m}} \\ $$$$\mathrm{2}\:\mathrm{cos}\:\frac{{i}\pi}{{m}}+\mathrm{1}=\omega^{{t}} +\omega^{−{t}} +\mathrm{1}=\omega^{−{t}} \left(\omega^{\mathrm{2}{t}} +\omega^{{t}} +\mathrm{1}\right) \\ $$$$\underset{{t}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\prod}}\left(\mathrm{2}\:\mathrm{cos}\:\frac{{t}\pi}{{m}}+\mathrm{1}\right)=\underset{{t}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\prod}}\omega^{−{t}} \left(\omega^{\mathrm{2}{t}} +\omega^{{t}} +\mathrm{1}\right)=\left(\underset{{t}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\prod}}\omega^{−{t}} \right)\underset{{t}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\prod}}\left(\omega^{\mathrm{2}{t}} +\omega^{{t}} +\mathrm{1}\right) \\ $$$$\underset{{t}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\prod}}\omega^{−{t}} =\omega^{−\underset{{t}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\sum}}{t}} =\omega^{−{m}\left({m}+\mathrm{1}\right)/\mathrm{2}} ={e}^{−{i}\pi{m}\left({m}+\mathrm{1}\right)/\left(\mathrm{2}{m}\right)} ={e}^{−{i}\pi\left({m}+\mathrm{1}\right)/\mathrm{2}} \\ $$$$\omega^{\mathrm{2}{t}} +\omega^{{t}} +\mathrm{1}=\frac{\omega^{\mathrm{3}{t}} −\mathrm{1}}{\omega^{{t}} −\mathrm{1}},\omega^{{t}} \neq\mathrm{1} \\ $$$$\underset{{t}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\prod}}\left(\omega^{\mathrm{2}{t}} +\omega^{{t}} +\mathrm{1}\right)=\underset{{t}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\prod}}\frac{\omega^{\mathrm{3}{t}} −\mathrm{1}}{\omega^{{t}} −\mathrm{1}}=\frac{\underset{{t}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\prod}}\left(\omega^{\mathrm{3}{t}} −\mathrm{1}\right)}{\underset{{t}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\prod}}\left(\omega^{{t}} −\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\underset{{t}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\prod}}\left(\omega^{{t}} −\mathrm{1}\right)=\left(−\mathrm{1}\right)^{{m}} \underset{{t}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\prod}}\left(\mathrm{1}−\omega^{{t}} \right) \\ $$$$\underset{{t}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\prod}}\left(\omega^{\mathrm{3}{t}} −\mathrm{1}\right)=\left(−\mathrm{1}\right)^{{m}} \underset{{t}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\prod}}\left(\mathrm{1}−\omega^{\mathrm{3}{t}} \right) \\ $$$$\frac{\underset{{t}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\prod}}\left(\omega^{\mathrm{3}{t}} −\mathrm{1}\right)}{\underset{{t}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\prod}}\left(\omega^{{t}} −\mathrm{1}\right)}=\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{m}} \underset{{t}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\prod}}\left(\mathrm{1}−\omega^{\mathrm{3}{t}} \right)}{\left(−\mathrm{1}\right)^{{m}} \underset{{t}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\prod}}\left(\mathrm{1}−\omega^{{t}} \right)}=\frac{\underset{{t}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\prod}}\left(\mathrm{1}−\omega^{\mathrm{3}{t}} \right)}{\underset{{t}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\prod}}\left(\mathrm{1}−\omega^{{t}} \right)} \\ $$$$\zeta\triangleq\omega,\underset{{t}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\prod}}\left(\mathrm{1}−\zeta^{\mathrm{3}{t}} \right)/\underset{{t}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\prod}}\left(\mathrm{1}−\zeta^{{t}} \right)={i} \\ $$$$\underset{{t}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\prod}}\left(\omega^{\mathrm{2}{t}} +\omega^{{t}} +\mathrm{1}\right)={i} \\ $$$$\underset{{t}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\prod}}\left(\mathrm{2}\:\mathrm{cos}\frac{{t}\pi}{{m}}+\mathrm{1}\right)={e}^{−{i}\pi\left({m}+\mathrm{1}\right)/\mathrm{2}} \centerdot{i}={e}^{−{i}\pi} \\ $$$${e}^{−{i}\pi{m}} =\left(−{i}\right)^{{m}} \\ $$$${m}=\mathrm{2}^{\mathrm{2024}} ,{p}\triangleq\mathrm{2024},{m}=\mathrm{2}^{{p}} \\ $$$$\left(−{i}\right)^{{m}} =\left(−{i}\right)^{\mathrm{2}^{{p}} } =\left[\left(−{i}\right)^{\mathrm{2}} \right]^{\mathrm{2}^{{p}−\mathrm{1}} } =\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}^{{p}−\mathrm{1}} } \\ $$$${p}\geq\mathrm{1},\mathrm{2}^{{p}−\mathrm{1}} \in\mathbb{N},\mathrm{2}^{{p}−\mathrm{1}} \geq\mathrm{2}^{\mathrm{2023}} \in\mathrm{2}\mathbb{N} \\ $$$$\underset{{t}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\prod}}\left(\mathrm{4}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \theta_{{t}} −\mathrm{3}\right)=\mathrm{1} \\ $$