Menu Close

Question-224041

Tinku Tara 0 Comments
Pin




Question Number 224041 by Tawa11 last updated on 15/Aug/25
Answered by mr W last updated on 19/Aug/25
say f(x)=Σ_(k=1) ^n kx^k since a_1 , a_2 , ..., a_n are the roots of f(x)=0, we have f(x)=pΠ_(k=1) ^n (x−a_k ) with p=constant≠0. (by comparing coefficient of x^n term we can see that p=n) pΠ_(k=1) ^n (x−a_k )=f(x)=Σ_(k=1) ^n kx^k ln p+Σ_(k=1) ^n ln (x−a_k )=ln f(x) Σ_(k=1) ^n (1/(x−a_k ))=((f′(x))/(f(x)))=((Σ_(k=1) ^n k^2 x^(k−1) )/(f(x))) −Σ_(k=1) ^n (1/((x−a_k )^2 ))=((Σ_(k=2) ^n k^2 (k−1)x^(k−2) )/(f(x)))−(((Σ_(k=1) ^n k^2 x^(k−1) )^2 )/(f^2 (x))) −Σ_(k=1) ^n (1/((x−a_k )^2 ))=((Σ_(k=1) ^n k^2 (k−1)x^(k−2) )/(Σ_(k=1) ^n kx^k ))−(((Σ_(k=1) ^n k^2 x^(k−1) )/(Σ_(k=1) ^n kx^k )))^2 set x=1, −Σ_(k=1) ^n (1/((1−a_k )^2 ))=((Σ_(k=1) ^n k^2 (k−1))/(Σ_(k=1) ^n k))−(((Σ_(k=1) ^n k^2 )/(Σ_(k=1) ^n k)))^2 −Σ_(k=1) ^n (1/((1−a_k )^2 ))=((Σ_(k=1) ^n k^3 −Σ_(k=1) ^n k^2 )/(Σ_(k=1) ^n k))−(((Σ_(k=1) ^n k^2 )/(Σ_(k=1) ^n k)))^2 −Σ_(k=1) ^n (1/((1−a_k )^2 ))=(((Σ_(k=1) ^n k)^2 −Σ_(k=1) ^n k^2 )/(Σ_(k=1) ^n k))−(((Σ_(k=1) ^n k^2 )/(Σ_(k=1) ^n k)))^2 −Σ_(k=1) ^n (1/((1−a_k )^2 ))=Σ_(k=1) ^n k−((Σ_(k=1) ^n k^2 )/(Σ_(k=1) ^n k))(1+((Σ_(k=1) ^n k^2 )/(Σ_(k=1) ^n k))) Σ_(k=1) ^n k^3 =(Σ_(k=1) ^n k)^2 Σ_(k=1) ^n k=((n(n+1))/2) Σ_(k=1) ^n k^2 =((n(n+1)(2n+1))/6) −Σ_(k=1) ^n (1/((1−a_k )^2 ))=((n(n+1))/2)−((2n+1)/3)(1+((2n+1)/3)) −Σ_(k=1) ^n (1/((1−a_k )^2 ))=((n^2 −11n−8)/(18)) Σ_(k=1) ^n (1/((1−a_k )^2 ))=−((n^2 −11n−8)/(18)) −13=−((n^2 −11n−8)/(18)) n^2 −11n−242=0 (n−22)(n+11)=0 ⇒n=22 (n=−11<0 rejected)
$${say}\:{f}\left({x}\right)=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{kx}^{{k}} \\ $$$${since}\:{a}_{\mathrm{1}} ,\:{a}_{\mathrm{2}} ,\:…,\:{a}_{{n}} \:{are}\:{the}\:{roots}\:{of} \\ $$$${f}\left({x}\right)=\mathrm{0},\:{we}\:{have} \\ $$$${f}\left({x}\right)={p}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\left({x}−{a}_{{k}} \right)\:{with}\:{p}={constant}\neq\mathrm{0}. \\ $$$$\left({by}\:{comparing}\:{coefficient}\:{of}\:{x}^{{n}} \:{term}\right. \\ $$$$\left.{we}\:{can}\:{see}\:{that}\:{p}={n}\right) \\ $$$${p}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\left({x}−{a}_{{k}} \right)={f}\left({x}\right)=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{kx}^{{k}} \\ $$$$\mathrm{ln}\:{p}+\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\mathrm{ln}\:\left({x}−{a}_{{k}} \right)=\mathrm{ln}\:{f}\left({x}\right) \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{x}−{a}_{{k}} }=\frac{{f}'\left({x}\right)}{{f}\left({x}\right)}=\frac{\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}^{\mathrm{2}} {x}^{{k}−\mathrm{1}} }{{f}\left({x}\right)} \\ $$$$−\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left({x}−{a}_{{k}} \right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}^{\mathrm{2}} \left({k}−\mathrm{1}\right){x}^{{k}−\mathrm{2}} }{{f}\left({x}\right)}−\frac{\left(\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}^{\mathrm{2}} {x}^{{k}−\mathrm{1}} \right)^{\mathrm{2}} }{{f}^{\mathrm{2}} \left({x}\right)} \\ $$$$−\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left({x}−{a}_{{k}} \right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}^{\mathrm{2}} \left({k}−\mathrm{1}\right){x}^{{k}−\mathrm{2}} }{\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{kx}^{{k}} }−\left(\frac{\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}^{\mathrm{2}} {x}^{{k}−\mathrm{1}} }{\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{kx}^{{k}} }\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$${set}\:{x}=\mathrm{1}, \\ $$$$−\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−{a}_{{k}} \right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}^{\mathrm{2}} \left({k}−\mathrm{1}\right)}{\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}}−\left(\frac{\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}^{\mathrm{2}} }{\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$−\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−{a}_{{k}} \right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}^{\mathrm{3}} −\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}^{\mathrm{2}} }{\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}}−\left(\frac{\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}^{\mathrm{2}} }{\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$−\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−{a}_{{k}} \right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\left(\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}\right)^{\mathrm{2}} −\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}^{\mathrm{2}} }{\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}}−\left(\frac{\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}^{\mathrm{2}} }{\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$−\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−{a}_{{k}} \right)^{\mathrm{2}} }=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}−\frac{\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}^{\mathrm{2}} }{\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}}\left(\mathrm{1}+\frac{\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}^{\mathrm{2}} }{\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}}\right) \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}^{\mathrm{3}} =\left(\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}=\frac{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}} \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}^{\mathrm{2}} =\frac{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}} \\ $$$$−\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−{a}_{{k}} \right)^{\mathrm{2}} }=\frac{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right) \\ $$$$−\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−{a}_{{k}} \right)^{\mathrm{2}} }=\frac{{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{11}{n}−\mathrm{8}}{\mathrm{18}} \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−{a}_{{k}} \right)^{\mathrm{2}} }=−\frac{{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{11}{n}−\mathrm{8}}{\mathrm{18}} \\ $$$$−\mathrm{13}=−\frac{{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{11}{n}−\mathrm{8}}{\mathrm{18}} \\ $$$${n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{11}{n}−\mathrm{242}=\mathrm{0} \\ $$$$\left({n}−\mathrm{22}\right)\left({n}+\mathrm{11}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{n}=\mathrm{22}\:\:\:\:\left({n}=−\mathrm{11}<\mathrm{0}\:\:{rejected}\right) \\ $$
Commented by Tawa11 last updated on 17/Aug/25
Wow, I really appreciate sir.
$$\mathrm{Wow},\:\mathrm{I}\:\mathrm{really}\:\mathrm{appreciate}\:\mathrm{sir}. \\ $$
Commented by mr W last updated on 17/Aug/25
right or wrong?
$${right}\:{or}\:{wrong}? \\ $$

Pin

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *