Prove-that-n-2-e-2n-1-1-2n-2n-1-

Question Number 224233 by Jgrads last updated on 27/Aug/25

$$\mathrm{Prove}\:\mathrm{that}\:\forall\mathrm{n}\geqslant\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{e}^{\mathrm{2n}−\mathrm{1}} −\mathrm{1}\:\geqslant\:\mathrm{2n}\left(\mathrm{2n}−\mathrm{1}\right) \\ $$

Answered by fkwow344 last updated on 27/Aug/25

Let′s f(x)=e^(2x−1) −4x^2 +2x−1 f^((1)) (x)=2e^(2x−1) −8x+2 f^((2)) (x)=4e^(2x−1) −8=4(e^(2x−1) −2) f^((2)) (2)=4(e^3 −2)≥0 ∴ f(x) is convex function when x≥2 f^((1)) (1)=2e−6<0 f^((1)) (2)=2e^3 −14>0 f^((1)) (2)>0 , f(x) is increase function x≥2 , and f(1)f(2)<0 ∴ for all N≥2 e^(2N−1) −1≥2N(2N−1) □

$$\mathrm{Let}'\mathrm{s}\:{f}\left({x}\right)={e}^{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}} −\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}−\mathrm{1} \\ $$$${f}^{\left(\mathrm{1}\right)} \left({x}\right)=\mathrm{2}{e}^{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}} −\mathrm{8}{x}+\mathrm{2} \\ $$$${f}^{\left(\mathrm{2}\right)} \left({x}\right)=\mathrm{4}{e}^{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}} −\mathrm{8}=\mathrm{4}\left({e}^{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}} −\mathrm{2}\right) \\ $$$${f}^{\left(\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{2}\right)=\mathrm{4}\left({e}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2}\right)\geq\mathrm{0} \\ $$$$\therefore\:{f}\left({x}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{convex}\:\:\mathrm{function}\:\mathrm{when}\:\:{x}\geq\mathrm{2} \\ $$$${f}^{\left(\mathrm{1}\right)} \left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{2}{e}−\mathrm{6}<\mathrm{0} \\ $$$${f}^{\left(\mathrm{1}\right)} \left(\mathrm{2}\right)=\mathrm{2}{e}^{\mathrm{3}} −\mathrm{14}>\mathrm{0} \\ $$$${f}^{\left(\mathrm{1}\right)} \left(\mathrm{2}\right)>\mathrm{0}\:,\:{f}\left({x}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{increase}\:\mathrm{function}\:{x}\geq\mathrm{2}\:, \\ $$$$\mathrm{and}\:\:{f}\left(\mathrm{1}\right){f}\left(\mathrm{2}\right)<\mathrm{0}\: \\ $$$$\therefore\:\mathrm{for}\:\mathrm{all}\:{N}\geq\mathrm{2} \\ $$$${e}^{\mathrm{2}{N}−\mathrm{1}} −\mathrm{1}\geq\mathrm{2}{N}\left(\mathrm{2}{N}−\mathrm{1}\right)\:\Box \\ $$

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