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tg-4-10-tg-4-50-tg-4-70-

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Question Number 225230 by Abdulazim last updated on 18/Oct/25
tg^4 10°+tg^4 50°+tg^4 70°=?
$$\:\:\:{tg}^{\mathrm{4}} \mathrm{10}°+{tg}^{\mathrm{4}} \mathrm{50}°+{tg}^{\mathrm{4}} \mathrm{70}°=? \\ $$
Commented by Frix last updated on 18/Oct/25
Claim: x^3 −59x^2 +115x−(1/9)=0 ⇔ x_1 ∈{tan^4 10°, tan^4 50°, tan^4 70°} ⇒ Answer is 59
$$\mathrm{Claim}: \\ $$$${x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{59}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{115}{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow \\ $$$${x}_{\mathrm{1}} \in\left\{\mathrm{tan}^{\mathrm{4}} \:\mathrm{10}°,\:\mathrm{tan}^{\mathrm{4}} \:\mathrm{50}°,\:\mathrm{tan}^{\mathrm{4}} \:\mathrm{70}°\right\} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{Answer}\:\mathrm{is}\:\mathrm{59} \\ $$
Commented by Tinku Tara last updated on 19/Oct/25
tan^4 10°+tan^4 50°+tan^4 70° 59 Running in app calculate on the above the result is indeed 59. How did you come up with equation?
$$\mathrm{tan}^{\mathrm{4}} \mathrm{10}°+\mathrm{tan}^{\mathrm{4}} \mathrm{50}°+\mathrm{tan}^{\mathrm{4}} \mathrm{70}° \\ $$$$\mathrm{59} \\ $$$$\mathrm{Running}\:\mathrm{in}\:\mathrm{app}\:\mathrm{calculate}\:\mathrm{on}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{above}\:\mathrm{the}\:\mathrm{result}\:\mathrm{is}\:\mathrm{indeed}\:\mathrm{59}. \\ $$$$\mathrm{How}\:\mathrm{did}\:\mathrm{you}\:\mathrm{come}\:\mathrm{up}\:\mathrm{with}\:\mathrm{equation}? \\ $$
Commented by Frix last updated on 19/Oct/25
See below. The other constants are achieved similarly. At first I used p=tan^2 10°, q=tan^2 50°, r=tan^2 70° to get (x−p)(x−q)(x−r)=0 x^3 −9x^2 +11x−(1/3)=0 and then the question is, what′s the equation for (x−p^2 )(x−q^2 )(x−r^2 )=0? We can simply let x=y^(1/2) y^(3/2) −9y+11y^(1/2) −(1/3)=0 y^(1/2) (y+11)=9y+(1/3) y(y+11)^2 =(9y+(1/3))^2 ... y^3 −59y^2 +115y−(1/9)=0
$$\mathrm{See}\:\mathrm{below}.\:\mathrm{The}\:\mathrm{other}\:\mathrm{constants}\:\mathrm{are}\:\mathrm{achieved} \\ $$$$\mathrm{similarly}. \\ $$$$\mathrm{At}\:\mathrm{first}\:\mathrm{I}\:\mathrm{used} \\ $$$${p}=\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{10}°,\:{q}=\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{50}°,\:{r}=\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{70}°\:\mathrm{to}\:\mathrm{get} \\ $$$$\left({x}−{p}\right)\left({x}−{q}\right)\left({x}−{r}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{9}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{11}{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{then}\:\mathrm{the}\:\mathrm{question}\:\mathrm{is},\:\mathrm{what}'\mathrm{s}\:\mathrm{the}\:\mathrm{equation} \\ $$$$\mathrm{for}\:\left({x}−{p}^{\mathrm{2}} \right)\left({x}−{q}^{\mathrm{2}} \right)\left({x}−{r}^{\mathrm{2}} \right)=\mathrm{0}? \\ $$$$\mathrm{We}\:\mathrm{can}\:\mathrm{simply}\:\mathrm{let}\:{x}={y}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \\ $$$${y}^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}} −\mathrm{9}{y}+\mathrm{11}{y}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}=\mathrm{0} \\ $$$${y}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \left({y}+\mathrm{11}\right)=\mathrm{9}{y}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$${y}\left({y}+\mathrm{11}\right)^{\mathrm{2}} =\left(\mathrm{9}{y}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$… \\ $$$${y}^{\mathrm{3}} −\mathrm{59}{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{115}{y}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}=\mathrm{0} \\ $$
Answered by Frix last updated on 19/Oct/25
tan^4 x =((sin^4 x)/(cos^4 x))=(((cos 4x −4cos 2x +3)/8)/((cos 4x +4cos 2x +3)/8))= =((cos 4x −4cos 2x +3)/(cos 4x +4cos 2x +3))= [x=10° ⇒ 4x=30°+x∧2x=30°−x] =(((−3(√3)cos x −5sin x +6)/2)/((5(√3)cos x +3sin x +6)/2)) ⇒ tan 10° =−((3(√3)cos x +5sin x −6)/(5(√3)cos x +3sin x +6)) The same for tan^4 50° =tan^4 (60°−x) and tan^4 70° =tan^4 (60°+x) gives: tan^4 50° =(((√3)cos x −7sin x −6)/( (√3)cos x +9sin x −6)) tan^4 70° =−((2(√3)cos x −sin x +3)/(2(√3)cos x −3sin x −3)) Now use similar logic to get (let me write c, s for cos x, sin x and remember 3x=30°) tan 10° +tan 50° +tan 70° = =−((6(√3)c^3 +225c^2 s−27c^2 −18(√3)cs^2 −75s^3 −27s^2 −108)/(10(√3)c^3 +81c^2 s−63c^2 −30(√3)cs^2 −27s^3 −63s^2 +36))= =−((((9(2(√3)c+1))/4)+((225(2s+1))/8)−((27((√3)c+s+2))/8)−((9(2(√3)c−3))/4)−((75(6s−1))/8)+((27((√3)c+s−2))/4)−108)/(((5(2(√3)c+1))/4)+((81(2s+1))/8)−((63((√3)c+s+2))/4)−((5(2(√3)c−3))/4)−((27(6s−1))/8)+((63((√3)c+s+2))/4)+36))= =(((177)/2)/(3/2))=59
$$\mathrm{tan}^{\mathrm{4}} \:{x}\:=\frac{\mathrm{sin}^{\mathrm{4}} \:{x}}{\mathrm{cos}^{\mathrm{4}} \:{x}}=\frac{\frac{\mathrm{cos}\:\mathrm{4}{x}\:−\mathrm{4cos}\:\mathrm{2}{x}\:+\mathrm{3}}{\mathrm{8}}}{\frac{\mathrm{cos}\:\mathrm{4}{x}\:+\mathrm{4cos}\:\mathrm{2}{x}\:+\mathrm{3}}{\mathrm{8}}}= \\ $$$$=\frac{\mathrm{cos}\:\mathrm{4}{x}\:−\mathrm{4cos}\:\mathrm{2}{x}\:+\mathrm{3}}{\mathrm{cos}\:\mathrm{4}{x}\:+\mathrm{4cos}\:\mathrm{2}{x}\:+\mathrm{3}}= \\ $$$$\:\:\:\:\:\left[{x}=\mathrm{10}°\:\Rightarrow\:\mathrm{4}{x}=\mathrm{30}°+{x}\wedge\mathrm{2}{x}=\mathrm{30}°−{x}\right] \\ $$$$=\frac{\frac{−\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{cos}\:{x}\:−\mathrm{5sin}\:{x}\:+\mathrm{6}}{\mathrm{2}}}{\frac{\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{cos}\:{x}\:+\mathrm{3sin}\:{x}\:+\mathrm{6}}{\mathrm{2}}} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{tan}\:\mathrm{10}°\:=−\frac{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{cos}\:{x}\:+\mathrm{5sin}\:{x}\:−\mathrm{6}}{\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{cos}\:{x}\:+\mathrm{3sin}\:{x}\:+\mathrm{6}} \\ $$$$\mathrm{The}\:\mathrm{same}\:\mathrm{for}\:\mathrm{tan}^{\mathrm{4}} \:\mathrm{50}°\:=\mathrm{tan}^{\mathrm{4}} \:\left(\mathrm{60}°−{x}\right)\:\mathrm{and} \\ $$$$\mathrm{tan}^{\mathrm{4}} \:\mathrm{70}°\:=\mathrm{tan}^{\mathrm{4}} \:\left(\mathrm{60}°+{x}\right)\:\mathrm{gives}: \\ $$$$\mathrm{tan}^{\mathrm{4}} \:\mathrm{50}°\:=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{cos}\:{x}\:−\mathrm{7sin}\:{x}\:−\mathrm{6}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{cos}\:{x}\:+\mathrm{9sin}\:{x}\:−\mathrm{6}} \\ $$$$\mathrm{tan}^{\mathrm{4}} \:\mathrm{70}°\:=−\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{cos}\:{x}\:−\mathrm{sin}\:{x}\:+\mathrm{3}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{cos}\:{x}\:−\mathrm{3sin}\:{x}\:−\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{Now}\:\mathrm{use}\:\mathrm{similar}\:\mathrm{logic}\:\mathrm{to}\:\mathrm{get}\:\left(\mathrm{let}\:\mathrm{me}\:\mathrm{write}\right. \\ $$$$\left.{c},\:{s}\:\mathrm{for}\:\mathrm{cos}\:{x},\:\mathrm{sin}\:{x}\:\mathrm{and}\:\mathrm{remember}\:\mathrm{3}{x}=\mathrm{30}°\right) \\ $$$$\mathrm{tan}\:\mathrm{10}°\:+\mathrm{tan}\:\mathrm{50}°\:+\mathrm{tan}\:\mathrm{70}°\:= \\ $$$$=−\frac{\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{3}}{c}^{\mathrm{3}} +\mathrm{225}{c}^{\mathrm{2}} {s}−\mathrm{27}{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{18}\sqrt{\mathrm{3}}{cs}^{\mathrm{2}} −\mathrm{75}{s}^{\mathrm{3}} −\mathrm{27}{s}^{\mathrm{2}} −\mathrm{108}}{\mathrm{10}\sqrt{\mathrm{3}}{c}^{\mathrm{3}} +\mathrm{81}{c}^{\mathrm{2}} {s}−\mathrm{63}{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{30}\sqrt{\mathrm{3}}{cs}^{\mathrm{2}} −\mathrm{27}{s}^{\mathrm{3}} −\mathrm{63}{s}^{\mathrm{2}} +\mathrm{36}}= \\ $$$$=−\frac{\frac{\mathrm{9}\left(\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}{c}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{225}\left(\mathrm{2}{s}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{8}}−\frac{\mathrm{27}\left(\sqrt{\mathrm{3}}{c}+{s}+\mathrm{2}\right)}{\mathrm{8}}−\frac{\mathrm{9}\left(\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}{c}−\mathrm{3}\right)}{\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{75}\left(\mathrm{6}{s}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{8}}+\frac{\mathrm{27}\left(\sqrt{\mathrm{3}}{c}+{s}−\mathrm{2}\right)}{\mathrm{4}}−\mathrm{108}}{\frac{\mathrm{5}\left(\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}{c}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{81}\left(\mathrm{2}{s}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{8}}−\frac{\mathrm{63}\left(\sqrt{\mathrm{3}}{c}+{s}+\mathrm{2}\right)}{\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{5}\left(\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}{c}−\mathrm{3}\right)}{\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{27}\left(\mathrm{6}{s}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{8}}+\frac{\mathrm{63}\left(\sqrt{\mathrm{3}}{c}+{s}+\mathrm{2}\right)}{\mathrm{4}}+\mathrm{36}}= \\ $$$$=\frac{\frac{\mathrm{177}}{\mathrm{2}}}{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}}=\mathrm{59} \\ $$

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