Question-225497

Question Number 225497 by gregori last updated on 31/Oct/25

Answered by Simurdiera last updated on 01/Nov/25

determinant (((11))) { ((x + y + (√(xy)) = 28 …(I))),((x^2 + y^2 + xy = 336 …(II))) :} En (II), sumando ceros x^2 + y^2 + xy + xy − xy = 336 Completando cuadrados (x + y)^2 − xy = 336 Factorizando (x + y − (√(xy)) )(x + y + (√(xy)) ) = 336 Reemplazando la ecuacio^� n (I) (x + y − (√(xy)) )28 = 336 Nos queda lo siguiente (x + y − (√(xy)) ) = ((336)/(28)) = ((168)/(14)) = ((84)/7) = 12 Sumando con (I) { ((x + y + (√(xy)) = 28)),(((x + y − (√(xy)) ) = 12)) :} 2x + 2y = 40 → x + y = 20 …(α) Reemplazando en (I) x + y + (√(xy)) = 28 20 + (√(xy)) = 28 (√(xy)) = 8 → xy = 64 …(β) Reemplazando en (II) x^2 + y^2 + 64 = 336 x^2 + y^2 = 272 Usando (α) x^2 + (20 − x)^2 = 272 x^2 + 400 − 40x + x^2 = 272 2x^2 − 40x + 128 = 0 x^2 − 20x + 64 = 0 (x − 16)(x − 4) = 0 → { ((x = 4 ; y = 16)),((x = −4 ; y = 24 No cumple)) :} determinant (((x = 4 ; y = 16)),((x = 16 ; y = 4))) Respuesta

$$\begin{array}{|c|}{\mathrm{11}}\\\hline\end{array}\begin{cases}{{x}\:+\:{y}\:+\:\sqrt{{xy}}\:=\:\mathrm{28}\:\:\:\:\:\ldots\left(\mathrm{I}\right)}\\{{x}^{\mathrm{2}} \:+\:{y}^{\mathrm{2}} \:+\:{xy}\:=\:\mathrm{336}\:\:\:\:\:\ldots\left(\mathrm{II}\right)}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{En}\:\left(\mathrm{II}\right),\:\mathrm{sumando}\:\mathrm{ceros} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} \:+\:{y}^{\mathrm{2}} \:+\:{xy}\:+\:{xy}\:−\:{xy}\:=\:\mathrm{336} \\ $$$$\mathrm{Completando}\:\mathrm{cuadrados} \\ $$$$\left({x}\:+\:{y}\right)^{\mathrm{2}} \:−\:{xy}\:=\:\mathrm{336} \\ $$$$\mathrm{Factorizando} \\ $$$$\left({x}\:+\:{y}\:−\:\sqrt{{xy}}\:\right)\left({x}\:+\:{y}\:+\:\sqrt{{xy}}\:\right)\:=\:\mathrm{336} \\ $$$$\mathrm{Reemplazando}\:\mathrm{la}\:\mathrm{ecuaci}\acute {\mathrm{o}n}\:\left(\mathrm{I}\right) \\ $$$$\left({x}\:+\:{y}\:−\:\sqrt{{xy}}\:\right)\mathrm{28}\:=\:\mathrm{336} \\ $$$$\mathrm{Nos}\:\mathrm{queda}\:\mathrm{lo}\:\mathrm{siguiente} \\ $$$$\left({x}\:+\:{y}\:−\:\sqrt{{xy}}\:\right)\:=\:\frac{\mathrm{336}}{\mathrm{28}}\:=\:\frac{\mathrm{168}}{\mathrm{14}}\:=\:\frac{\mathrm{84}}{\mathrm{7}}\:=\:\mathrm{12} \\ $$$$\mathrm{Sumando}\:\mathrm{con}\:\left(\mathrm{I}\right) \\ $$$$\begin{cases}{{x}\:+\:{y}\:+\:\sqrt{{xy}}\:=\:\mathrm{28}}\\{\left({x}\:+\:{y}\:−\:\sqrt{{xy}}\:\right)\:=\:\mathrm{12}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{2}{x}\:+\:\mathrm{2}{y}\:=\:\mathrm{40}\:\:\:\:\:\rightarrow\:\:\:\:\:{x}\:+\:{y}\:=\:\mathrm{20}\:\:\:\ldots\left(\alpha\right) \\ $$$$\mathrm{Reemplazando}\:\mathrm{en}\:\:\left(\mathrm{I}\right)\: \\ $$$${x}\:+\:{y}\:+\:\sqrt{{xy}}\:=\:\mathrm{28} \\ $$$$\mathrm{20}\:+\:\sqrt{{xy}}\:=\:\mathrm{28} \\ $$$$\sqrt{{xy}}\:=\:\mathrm{8}\:\:\:\rightarrow\:\:\:{xy}\:=\:\mathrm{64}\:\:\:\ldots\left(\beta\right) \\ $$$$\mathrm{Reemplazando}\:\mathrm{en}\:\left(\mathrm{II}\right) \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} \:+\:{y}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{64}\:=\:\mathrm{336} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} \:+\:{y}^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{272} \\ $$$$\mathrm{Usando}\:\left(\alpha\right) \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} \:+\:\left(\mathrm{20}\:−\:{x}\right)^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{272} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{400}\:−\:\mathrm{40}{x}\:+\:{x}^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{272} \\ $$$$\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{40}{x}\:+\:\mathrm{128}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{20}{x}\:+\:\mathrm{64}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\left({x}\:−\:\mathrm{16}\right)\left({x}\:−\:\mathrm{4}\right)\:=\:\mathrm{0}\:\:\:\rightarrow\:\:\:\begin{cases}{{x}\:=\:\mathrm{4}\:\:\:;\:\:\:{y}\:=\:\mathrm{16}}\\{{x}\:=\:−\mathrm{4}\:\:\:;\:\:\:{y}\:=\:\mathrm{24}\:\:\:\:\:\boldsymbol{{No}}\:\boldsymbol{{cumple}}}\end{cases} \\ $$$$\begin{array}{|c|c|}{{x}\:=\:\mathrm{4}\:\:\:;\:\:\:{y}\:=\:\mathrm{16}}\\{{x}\:=\:\mathrm{16}\:\:\:;\:\:\:{y}\:=\:\mathrm{4}}\\\hline\end{array}\:\:\:\:\:\boldsymbol{{Respuesta}} \\ $$

Answered by mr W last updated on 01/Nov/25

9. (x−(√3)+(√2))(x+(√3)−(√2))=x^2 −5+2(√6) (x^2 −5+2(√6))(x^2 −5−2(√6)) =(x^2 −5)^2 −24 =x^4 −10x^2 +1 ✓

$$\mathrm{9}. \\ $$$$\left({x}−\sqrt{\mathrm{3}}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)\left({x}+\sqrt{\mathrm{3}}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)={x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{6}} \\ $$$$\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{6}}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{6}}\right) \\ $$$$=\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{24} \\ $$$$={x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{10}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\:\checkmark \\ $$

Answered by Ghisom_ last updated on 02/Nov/25

14. (a^(1/3) −b^(1/3) =1)^3 transforms to a−b−3(ab)^(1/3) (a^(1/3) −b^(1/3) )=1 we know a^(1/3) −b^(1/3) = a−b−3(ab)^(1/3) =1 3(ab)^(1/3) =a−b−1 27ab=(a−b−1)^3 a=x+5∧b=x−5 27x^2 −675=729 x^2 =52

$$\mathrm{14}. \\ $$$$\left({a}^{\mathrm{1}/\mathrm{3}} −{b}^{\mathrm{1}/\mathrm{3}} =\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{transforms}\:\mathrm{to} \\ $$$${a}−{b}−\mathrm{3}\left({ab}\right)^{\mathrm{1}/\mathrm{3}} \left({a}^{\mathrm{1}/\mathrm{3}} −{b}^{\mathrm{1}/\mathrm{3}} \right)=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{know}\:{a}^{\mathrm{1}/\mathrm{3}} −{b}^{\mathrm{1}/\mathrm{3}} = \\ $$$${a}−{b}−\mathrm{3}\left({ab}\right)^{\mathrm{1}/\mathrm{3}} =\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{3}\left({ab}\right)^{\mathrm{1}/\mathrm{3}} ={a}−{b}−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{27}{ab}=\left({a}−{b}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \\ $$$${a}={x}+\mathrm{5}\wedge{b}={x}−\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{27}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{675}=\mathrm{729} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{52} \\ $$

Answered by fantastic last updated on 02/Nov/25

Commented by fantastic last updated on 02/Nov/25

12) ABED=1u^2 ABE=(1/2)u^2 ⇒(1/2)×AE×AB×sin 45^0 =(1/2) AE×4AE=(√2) 4AE^2 =(√2) 16AE^2 =4(√2) (4AE)^2 =4(√2) AB^2 =4(√2)

$$\left.\mathrm{12}\right) \\ $$$${ABED}=\mathrm{1}{u}^{\mathrm{2}} \\ $$$${ABE}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{u}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}×{AE}×{AB}×\mathrm{sin}\:\mathrm{45}^{\mathrm{0}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$${AE}×\mathrm{4}{AE}=\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{4}{AE}^{\mathrm{2}} =\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{16}{AE}^{\mathrm{2}} =\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$$$\left(\mathrm{4}{AE}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$$${AB}^{\mathrm{2}} =\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$

Answered by fantastic last updated on 02/Nov/25

Commented by fantastic last updated on 02/Nov/25

13) let AG=x ⇒GC=8−x ⇒CF=8−x ⇒BF=x−2 ⇒BE=x−2 ⇒EA=6−x EA=AG 6−x=x x=3 ∡BAC=cos^(−1) (((4^2 +8^2 −6^2 )/(2×8×4))) =cos^(−1) (((11)/(16)))=α EG=(√(3^2 +3^2 −2×3×3cosα )) =(√(18−18cos (cos^(−1) (((11)/(16)))))) =(√(18−((99)/8))) =(√((45)/8))=(√((5×3^2 )/(2×2^2 )))=1.5(√(2.5)) cm

$$\left.\mathrm{13}\right) \\ $$$${let}\:{AG}={x} \\ $$$$\Rightarrow{GC}=\mathrm{8}−{x} \\ $$$$\Rightarrow{CF}=\mathrm{8}−{x} \\ $$$$\Rightarrow{BF}={x}−\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow{BE}={x}−\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow{EA}=\mathrm{6}−{x} \\ $$$${EA}={AG} \\ $$$$\mathrm{6}−{x}={x} \\ $$$${x}=\mathrm{3} \\ $$$$\measuredangle{BAC}=\mathrm{cos}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{4}^{\mathrm{2}} +\mathrm{8}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}×\mathrm{8}×\mathrm{4}}\right) \\ $$$$=\mathrm{cos}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{16}}\right)=\alpha \\ $$$${EG}=\sqrt{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}×\mathrm{3}×\mathrm{3cos}\alpha\:} \\ $$$$=\sqrt{\mathrm{18}−\mathrm{18cos}\:\left(\mathrm{cos}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{16}}\right)\right)} \\ $$$$=\sqrt{\mathrm{18}−\frac{\mathrm{99}}{\mathrm{8}}} \\ $$$$=\sqrt{\frac{\mathrm{45}}{\mathrm{8}}}=\sqrt{\frac{\mathrm{5}×\mathrm{3}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}×\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }}=\mathrm{1}.\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{2}.\mathrm{5}}\:{cm} \\ $$

Answered by fantastic last updated on 02/Nov/25

15⟩ let f(x)=ax^3 +bx^2 +cx+5 g(x)=ax^3 +bx^2 +cx−((25)/(16)) x^2 +x+2 is factor of f(x) x^2 +x+2=0 x⇒((−1±(√(−7)))/2) x { ((−(1/2)+((i(√7))/2)=x_1 )),((−(1/2)−((i(√7))/2)=x_2 )) :} so f(x_1 )=0 and f(x_2 )=0 2x−1 is factor of g(x) 2x−1=0 ⇒x=(1/2) so g((1/2))=0 (a/8)+(b/4)+(c/2)−((25)/(16))=0 2a+4b+8c=25 ...1 ax_1 ^3 +bx_1 ^2 +cx_1 +5=0 ...2 ax_2 ^3 +bx_2 ^2 +cx_2 +5=0...3 from 1 a=((25−4b−8c)/2) from 2 a=((−5−bx_1 ^2 −cx_1 )/x_1 ^3 ) ((25−4b−8c)/2)=((−5−bx_1 ^2 −cx_1 )/x_1 ^3 ) ⇒25x_1 ^3 −4bx_1 ^3 −8cx_1 ^3 =−10−2bx_1 ^2 −2cx_1 ⇒25x_1 ^3 +10=2bx_1 ^2 (2x_1 −1)+2cx_1 (4x^2 −1) ⇒25x_1 ^3 +10=2x_1 (bx_1 (2x_1 −1)+c(2x_1 +1)(2x_1 −1)) ⇒25x_1 ^3 +10=2x_1 (2x_1 −1)(bx_1 +c(2x_1 +1) ⇒bx_1 +c(2x_1 +1)=((25x_1 ^3 +10)/(2x_1 (2x_1 −1)))...i ⇒b=((((25x_1 ^3 +10)/(2x_1 (2x_1 −1)))−c(2x_1 +1))/x_1 ) from 3 a=((−5−bx_2 ^2 −cx_2 )/x_2 ^3 ) ((25−4b−8c)/2)=((−5−bx_2 ^2 −cx_2 )/x_2 ^3 ) ⇒bx_2 +c(2x_2 +1)=((25x_2 ^3 +10)/(2x_2 (2x_2 −1)))...ii i×x_2 −ii×x_1 ⇒cx_2 (2x_1 +1)−cx_1 (2x_2 +1)=(((25x_1 ^3 +10)/(2x_1 (2x_1 −1)))x_2 − ((25x_2 ^3 +10)/(2x_2 (2x_2 −1)))x_1 ) c=(((((25x_1 ^3 +10)/(2x_1 (2x_1 −1)))x_2 − ((25x_2 ^3 +10)/(2x_2 (2x_2 −1)))x_1 ))/(x_2 (2x_1 +1)−x_1 (2x_2 +1))) b=((((25x_1 ^3 +10)/(2x_1 (2x_1 −1)))−(((((25x_1 ^3 +10)/(2x_1 (2x_1 −1)))x_2 − ((25x_2 ^3 +10)/(2x_2 (2x_2 −1)))x_1 ))/(x_2 (2x_1 +1)−x_1 (2x_2 +1)))(2x_1 +1))/x_1 ) a=((25−4(((((25x_1 ^3 +10)/(2x_1 (2x_1 −1)))−(((((25x_1 ^3 +10)/(2x_1 (2x_1 −1)))x_2 − ((25x_2 ^3 +10)/(2x_2 (2x_2 −1)))x_1 ))/(x_2 (2x_1 +1)−x_1 (2x_2 +1)))(2x_1 +1))/x_1 ))−8((((((25x_1 ^3 +10)/(2x_1 (2x_1 −1)))x_2 − ((25x_2 ^3 +10)/(2x_2 (2x_2 −1)))x_1 ))/(x_2 (2x_1 +1)−x_1 (2x_2 +1)))))/2) determinant (((∴a+b+c=((((25−4(((((25x_1 ^3 +10)/(2x_1 (2x_1 −1)))−(((((25x_1 ^3 +10)/(2x_1 (2x_1 −1)))x_2 − ((25x_2 ^3 +10)/(2x_2 (2x_2 −1)))x_1 ))/(x_2 (2x_1 +1)−x_1 (2x_2 +1)))(2x_1 +1))/x_1 ))−8((((((25x_1 ^3 +10)/(2x_1 (2x_1 −1)))x_2 − ((25x_2 ^3 +10)/(2x_2 (2x_2 −1)))x_1 ))/(x_2 (2x_1 +1)−x_1 (2x_2 +1)))))/2))+(((((25x_1 ^3 +10)/(2x_1 (2x_1 −1)))−(((((25x_1 ^3 +10)/(2x_1 (2x_1 −1)))x_2 − ((25x_2 ^3 +10)/(2x_2 (2x_2 −1)))x_1 ))/(x_2 (2x_1 +1)−x_1 (2x_2 +1)))(2x_1 +1))/x_1 ))+((((((25x_1 ^3 +10)/(2x_1 (2x_1 −1)))x_2 − ((25x_2 ^3 +10)/(2x_2 (2x_2 −1)))x_1 ))/(x_2 (2x_1 +1)−x_1 (2x_2 +1)))))))) here x_1 =−(1/2)+((i(√7))/2) and x_2 =−(1/2)−((i(√7))/2) Computing gives a=−(5/(22)),b=((25)/(11)),c=((45)/(22)) FINAL ANSWER determinant (((a+b+c=((45)/(11)))))

$$\mathrm{15}\rangle \\ $$$${let}\:{f}\left({x}\right)={ax}^{\mathrm{3}} +{bx}^{\mathrm{2}} +{cx}+\mathrm{5} \\ $$$${g}\left({x}\right)={ax}^{\mathrm{3}} +{bx}^{\mathrm{2}} +{cx}−\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{16}} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{2}\:{is}\:{factor}\:{of}\:{f}\left({x}\right) \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{2}=\mathrm{0} \\ $$$${x}\Rightarrow\frac{−\mathrm{1}\pm\sqrt{−\mathrm{7}}}{\mathrm{2}} \\ $$$${x\begin{cases}{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{{i}\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}={x}_{\mathrm{1}} }\\{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{{i}\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}={x}_{\mathrm{2}} }\end{cases}} \\ $$$${so}\:{f}\left({x}_{\mathrm{1}} \right)=\mathrm{0}\:{and}\:{f}\left({x}_{\mathrm{2}} \right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}\:{is}\:{factor}\:{of}\:{g}\left({x}\right) \\ $$$$\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$${so}\:{g}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\frac{{a}}{\mathrm{8}}+\frac{{b}}{\mathrm{4}}+\frac{{c}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{16}}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{2}{a}+\mathrm{4}{b}+\mathrm{8}{c}=\mathrm{25}\:…\mathrm{1} \\ $$$${ax}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{3}} +{bx}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} +{cx}_{\mathrm{1}} +\mathrm{5}=\mathrm{0}\:…\mathrm{2} \\ $$$${ax}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{3}} +{bx}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} +{cx}_{\mathrm{2}} +\mathrm{5}=\mathrm{0}…\mathrm{3} \\ $$$${from}\:\mathrm{1} \\ $$$${a}=\frac{\mathrm{25}−\mathrm{4}{b}−\mathrm{8}{c}}{\mathrm{2}} \\ $$$${from}\:\mathrm{2} \\ $$$${a}=\frac{−\mathrm{5}−{bx}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} −{cx}_{\mathrm{1}} }{{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{3}} } \\ $$$$\frac{\mathrm{25}−\mathrm{4}{b}−\mathrm{8}{c}}{\mathrm{2}}=\frac{−\mathrm{5}−{bx}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} −{cx}_{\mathrm{1}} }{{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{3}} } \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{25}{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{3}} −\mathrm{4}{bx}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{3}} −\mathrm{8}{cx}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{3}} =−\mathrm{10}−\mathrm{2}{bx}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{cx}_{\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{25}{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{3}} +\mathrm{10}=\mathrm{2}{bx}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right)+\mathrm{2}{cx}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{25}{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{3}} +\mathrm{10}=\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} \left({bx}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right)+{c}\left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right)\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{25}{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{3}} +\mathrm{10}=\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right)\left({bx}_{\mathrm{1}} +{c}\left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} +\mathrm{1}\right)\right. \\ $$$$\Rightarrow{bx}_{\mathrm{1}} +{c}\left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} +\mathrm{1}\right)=\frac{\mathrm{25}{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{3}} +\mathrm{10}}{\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right)}…{i}\:\Rightarrow{b}=\frac{\frac{\mathrm{25}{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{3}} +\mathrm{10}}{\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right)}−{c}\left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} +\mathrm{1}\right)}{{x}_{\mathrm{1}} } \\ $$$${from}\:\mathrm{3} \\ $$$${a}=\frac{−\mathrm{5}−{bx}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} −{cx}_{\mathrm{2}} }{{x}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{3}} } \\ $$$$\frac{\mathrm{25}−\mathrm{4}{b}−\mathrm{8}{c}}{\mathrm{2}}=\frac{−\mathrm{5}−{bx}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} −{cx}_{\mathrm{2}} }{{x}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{3}} } \\ $$$$\Rightarrow{bx}_{\mathrm{2}} +{c}\left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)=\frac{\mathrm{25}{x}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{3}} +\mathrm{10}}{\mathrm{2}{x}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}…{ii} \\ $$$${i}×{x}_{\mathrm{2}} −{ii}×{x}_{\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow{cx}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} +\mathrm{1}\right)−{cx}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)=\left(\frac{\mathrm{25}{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{3}} +\mathrm{10}}{\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right)}{x}_{\mathrm{2}} −\:\frac{\mathrm{25}{x}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{3}} +\mathrm{10}}{\mathrm{2}{x}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}{x}_{\mathrm{1}} \right) \\ $$$${c}=\frac{\left(\frac{\mathrm{25}{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{3}} +\mathrm{10}}{\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right)}{x}_{\mathrm{2}} −\:\frac{\mathrm{25}{x}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{3}} +\mathrm{10}}{\mathrm{2}{x}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}{x}_{\mathrm{1}} \right)}{{x}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} +\mathrm{1}\right)−{x}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)} \\ $$$${b}=\frac{\frac{\mathrm{25}{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{3}} +\mathrm{10}}{\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right)}−\frac{\left(\frac{\mathrm{25}{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{3}} +\mathrm{10}}{\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right)}{x}_{\mathrm{2}} −\:\frac{\mathrm{25}{x}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{3}} +\mathrm{10}}{\mathrm{2}{x}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}{x}_{\mathrm{1}} \right)}{{x}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} +\mathrm{1}\right)−{x}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}\left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} +\mathrm{1}\right)}{{x}_{\mathrm{1}} } \\ $$$${a}=\frac{\mathrm{25}−\mathrm{4}\left(\frac{\frac{\mathrm{25}{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{3}} +\mathrm{10}}{\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right)}−\frac{\left(\frac{\mathrm{25}{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{3}} +\mathrm{10}}{\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right)}{x}_{\mathrm{2}} −\:\frac{\mathrm{25}{x}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{3}} +\mathrm{10}}{\mathrm{2}{x}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}{x}_{\mathrm{1}} \right)}{{x}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} +\mathrm{1}\right)−{x}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}\left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} +\mathrm{1}\right)}{{x}_{\mathrm{1}} }\right)−\mathrm{8}\left(\frac{\left(\frac{\mathrm{25}{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{3}} +\mathrm{10}}{\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right)}{x}_{\mathrm{2}} −\:\frac{\mathrm{25}{x}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{3}} +\mathrm{10}}{\mathrm{2}{x}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}{x}_{\mathrm{1}} \right)}{{x}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} +\mathrm{1}\right)−{x}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}\right)}{\mathrm{2}} \\ $$$$\begin{array}{|c|}{\therefore{a}+{b}+{c}=\left(\left(\frac{\mathrm{25}−\mathrm{4}\left(\frac{\frac{\mathrm{25}{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{3}} +\mathrm{10}}{\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right)}−\frac{\left(\frac{\mathrm{25}{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{3}} +\mathrm{10}}{\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right)}{x}_{\mathrm{2}} −\:\frac{\mathrm{25}{x}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{3}} +\mathrm{10}}{\mathrm{2}{x}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}{x}_{\mathrm{1}} \right)}{{x}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} +\mathrm{1}\right)−{x}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}\left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} +\mathrm{1}\right)}{{x}_{\mathrm{1}} }\right)−\mathrm{8}\left(\frac{\left(\frac{\mathrm{25}{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{3}} +\mathrm{10}}{\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right)}{x}_{\mathrm{2}} −\:\frac{\mathrm{25}{x}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{3}} +\mathrm{10}}{\mathrm{2}{x}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}{x}_{\mathrm{1}} \right)}{{x}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} +\mathrm{1}\right)−{x}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}\right)}{\mathrm{2}}\right)+\left(\frac{\frac{\mathrm{25}{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{3}} +\mathrm{10}}{\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right)}−\frac{\left(\frac{\mathrm{25}{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{3}} +\mathrm{10}}{\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right)}{x}_{\mathrm{2}} −\:\frac{\mathrm{25}{x}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{3}} +\mathrm{10}}{\mathrm{2}{x}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}{x}_{\mathrm{1}} \right)}{{x}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} +\mathrm{1}\right)−{x}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}\left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} +\mathrm{1}\right)}{{x}_{\mathrm{1}} }\right)+\left(\frac{\left(\frac{\mathrm{25}{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{3}} +\mathrm{10}}{\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right)}{x}_{\mathrm{2}} −\:\frac{\mathrm{25}{x}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{3}} +\mathrm{10}}{\mathrm{2}{x}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}{x}_{\mathrm{1}} \right)}{{x}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}} +\mathrm{1}\right)−{x}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}{x}_{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}\right)\right)}\\\hline\end{array} \\ $$$$ \\ $$$${here}\:{x}_{\mathrm{1}} =−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{{i}\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\:{and}\:{x}_{\mathrm{2}} =−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{{i}\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}} \\ $$$${Computing}\:{gives}\: \\ $$$${a}=−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{22}},{b}=\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{11}},{c}=\frac{\mathrm{45}}{\mathrm{22}} \\ $$$${FINAL}\:{ANSWER}\: \\ $$$$\begin{array}{|c|}{{a}+{b}+{c}=\frac{\mathrm{45}}{\mathrm{11}}}\\\hline\end{array} \\ $$

Answered by fantastic last updated on 02/Nov/25

$$\left.\mathrm{16}\right) \\ $$$${x}=\begin{cases}{−\mathrm{1}}\\{\mathrm{2}}\end{cases} \\ $$

Answered by mr W last updated on 02/Nov/25

15. let a+b+c=k ax^3 +bx^2 +cx+5=p(x)(x^2 +x+2) 5=p(0)(2) ⇒p(0)=(5/2) a+b+c+5=p(1)(1+1+2) ⇒p(1)=((a+b+c)/4)+(5/4)=(k/4)+(5/4) ⇒p(x)=((k/4)−(5/4))x+(5/2) ax^3 +bx^2 +cx−((25)/(16))=q(x)(2x−1) −((25)/(16))=q(0)(−1) ⇒q(0)=((25)/(16)) a+b+c−((25)/(16))=q(1)(2−1) ⇒q(1)=a+b+c−((25)/(16))=k−((25)/(16)) ⇒q(x)=λx^2 +(k−((25)/8)−λ)x+((25)/(16)) q(x)(2x−1)+((25)/(16))=p(x)(x^2 +x+1)−5 [λx^2 +(k−((25)/8)−λ)x+((25)/(16))](2x−1)+((25)/(16))=[((k/4)−(5/4))x+(5/2)](x^2 +x+2)−5 put x=−1: [λ−(k−((25)/8)−λ)+((25)/(16))](−2−1)+((25)/(16))=[−((k/4)−(5/4))+(5/2)](1−1+2)−5 ⇒−6λ+((7k)/2)=15 ...(i) put x=2: [4λ+2(k−((25)/8)−λ)+((25)/(16))]3+((25)/(16))=[((k/4)−(5/4))2+(5/2)]8−5 ⇒6λ+2k=((15)/2) ...(ii) (i)+(ii): (2+(7/2))k=15+((15)/2) ⇒ k=((45)/(11))=a+b+c ✓

$$\mathrm{15}. \\ $$$${let}\:{a}+{b}+{c}={k} \\ $$$$ \\ $$$${ax}^{\mathrm{3}} +{bx}^{\mathrm{2}} +{cx}+\mathrm{5}={p}\left({x}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{2}\right) \\ $$$$\mathrm{5}={p}\left(\mathrm{0}\right)\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\Rightarrow{p}\left(\mathrm{0}\right)=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}} \\ $$$${a}+{b}+{c}+\mathrm{5}={p}\left(\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{1}+\mathrm{2}\right) \\ $$$$\Rightarrow{p}\left(\mathrm{1}\right)=\frac{{a}+{b}+{c}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{4}}=\frac{{k}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\Rightarrow{p}\left({x}\right)=\left(\frac{{k}}{\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{4}}\right){x}+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}} \\ $$$$ \\ $$$${ax}^{\mathrm{3}} +{bx}^{\mathrm{2}} +{cx}−\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{16}}={q}\left({x}\right)\left(\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$−\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{16}}={q}\left(\mathrm{0}\right)\left(−\mathrm{1}\right) \\ $$$$\Rightarrow{q}\left(\mathrm{0}\right)=\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{16}} \\ $$$${a}+{b}+{c}−\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{16}}={q}\left(\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$\Rightarrow{q}\left(\mathrm{1}\right)={a}+{b}+{c}−\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{16}}={k}−\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{16}} \\ $$$$\Rightarrow{q}\left({x}\right)=\lambda{x}^{\mathrm{2}} +\left({k}−\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{8}}−\lambda\right){x}+\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{16}} \\ $$$$ \\ $$$${q}\left({x}\right)\left(\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{16}}={p}\left({x}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{5} \\ $$$$\left[\lambda{x}^{\mathrm{2}} +\left({k}−\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{8}}−\lambda\right){x}+\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{16}}\right]\left(\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{16}}=\left[\left(\frac{{k}}{\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{4}}\right){x}+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\right]\left({x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{2}\right)−\mathrm{5} \\ $$$${put}\:{x}=−\mathrm{1}: \\ $$$$\left[\lambda−\left({k}−\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{8}}−\lambda\right)+\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{16}}\right]\left(−\mathrm{2}−\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{16}}=\left[−\left(\frac{{k}}{\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{4}}\right)+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\right]\left(\mathrm{1}−\mathrm{1}+\mathrm{2}\right)−\mathrm{5} \\ $$$$\Rightarrow−\mathrm{6}\lambda+\frac{\mathrm{7}{k}}{\mathrm{2}}=\mathrm{15}\:\:\:…\left({i}\right) \\ $$$${put}\:{x}=\mathrm{2}: \\ $$$$\left[\mathrm{4}\lambda+\mathrm{2}\left({k}−\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{8}}−\lambda\right)+\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{16}}\right]\mathrm{3}+\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{16}}=\left[\left(\frac{{k}}{\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{4}}\right)\mathrm{2}+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\right]\mathrm{8}−\mathrm{5} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{6}\lambda+\mathrm{2}{k}=\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{2}}\:\:\:…\left({ii}\right) \\ $$$$\left({i}\right)+\left({ii}\right): \\ $$$$\left(\mathrm{2}+\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{2}}\right){k}=\mathrm{15}+\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\:{k}=\frac{\mathrm{45}}{\mathrm{11}}={a}+{b}+{c}\:\checkmark \\ $$

Commented by fantastic last updated on 02/Nov/25

$${ur}\:{method}\:{is}\:{good}\:\&{efficient}. \\ $$$${mine}\:{is}\:{complicated}…. \\ $$$${but}\:{you}\:{can}\:{get}\:{the}\:{values} \\ $$$${of}\:{a}\:{b}\:\&{c}\:{from}\:{my}\:{formula} \\ $$

Commented by mr W last updated on 03/Nov/25

your method to get a,b, c is too complicated. i′ll never use your formula to get a,b, c because i can get them in much easier way: i′ve got k=a+b+c=((45)/(11)), then p(x)=(((45)/(4×11))−(5/4))x+(5/2)=−((5x)/(22))+(5/2) ax^3 +bx^2 +cx+5 =p(x)(x^2 +x+2) =(−((5x)/(22))+(5/2))(x^2 +x+2) =−((5x^3 )/(22))+((25x^2 )/(11))+((45x)/(22))+5 i.e. a=−(5/(22)), b=((25)/(11)), c=((45)/(22))

$${your}\:{method}\:{to}\:{get}\:{a},{b},\:{c}\:{is}\:{too}\: \\ $$$${complicated}.\:\:{i}'{ll}\:{never}\:{use}\:{your} \\ $$$${formula}\:{to}\:{get}\:{a},{b},\:{c}\:{because}\:{i}\:{can}\: \\ $$$${get}\:{them}\:{in}\:{much}\:{easier}\:{way}: \\ $$$${i}'{ve}\:{got}\:{k}={a}+{b}+{c}=\frac{\mathrm{45}}{\mathrm{11}},\:{then} \\ $$$${p}\left({x}\right)=\left(\frac{\mathrm{45}}{\mathrm{4}×\mathrm{11}}−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{4}}\right){x}+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}=−\frac{\mathrm{5}{x}}{\mathrm{22}}+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}} \\ $$$${ax}^{\mathrm{3}} +{bx}^{\mathrm{2}} +{cx}+\mathrm{5} \\ $$$$={p}\left({x}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{2}\right) \\ $$$$=\left(−\frac{\mathrm{5}{x}}{\mathrm{22}}+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{2}\right) \\ $$$$=−\frac{\mathrm{5}{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{22}}+\frac{\mathrm{25}{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{11}}+\frac{\mathrm{45}{x}}{\mathrm{22}}+\mathrm{5} \\ $$$${i}.{e}.\:{a}=−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{22}},\:{b}=\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{11}},\:{c}=\frac{\mathrm{45}}{\mathrm{22}} \\ $$

Answered by A5T last updated on 03/Nov/25

15.) A simpler solution using Vieta′s formula x_1 +x_2 =((−1)/1)⇒x_1 +x_2 +x_3 =((−b)/a)=−1+x_3 ⇒x_3 =((a−b)/a)...(i) x_1 x_2 =(2/1) ⇒ x_1 x_2 +x_3 (x_1 +x_2 )=2−x_3 =(c/a) ⇒x_3 =((2a−c)/a)...(ii) x_1 x_2 x_3 =2x_3 =((−5)/a) ⇒x_3 =((−5)/(2a))...(iii) (ii)&(iii)⇒4a−2c=−5⇒a=((2c−5)/4)...(v) (iii)&(i)⇒2a−2b=−5⇒b=((2a+5)/2) =((2c+5)/4) ...(vi) (a/8)+(b/4)+(c/2)=((25)/(16))⇒a+2b+4c=((25)/2) ⇒((2c−5)/4)+((2c+5)/2)+4c=((25)/2)⇒c=((45)/(22)) ⇒a+b+c=((2c−5)/4)+((2c+5)/4)+c=2c=((45)/(11))

$$\left.\mathrm{15}.\right)\:\mathrm{A}\:\mathrm{simpler}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{using}\:\mathrm{Vieta}'\mathrm{s}\:\mathrm{formula} \\ $$$$\mathrm{x}_{\mathrm{1}} +\mathrm{x}_{\mathrm{2}} =\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{1}}\Rightarrow\mathrm{x}_{\mathrm{1}} +\mathrm{x}_{\mathrm{2}} +\mathrm{x}_{\mathrm{3}} =\frac{−\mathrm{b}}{\mathrm{a}}=−\mathrm{1}+\mathrm{x}_{\mathrm{3}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}_{\mathrm{3}} =\frac{\mathrm{a}−\mathrm{b}}{\mathrm{a}}…\left(\mathrm{i}\right) \\ $$$$\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \mathrm{x}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}}\:\Rightarrow\:\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \mathrm{x}_{\mathrm{2}} +\mathrm{x}_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}_{\mathrm{1}} +\mathrm{x}_{\mathrm{2}} \right)=\mathrm{2}−\mathrm{x}_{\mathrm{3}} =\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}_{\mathrm{3}} =\frac{\mathrm{2a}−\mathrm{c}}{\mathrm{a}}…\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$$$\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \mathrm{x}_{\mathrm{2}} \mathrm{x}_{\mathrm{3}} =\mathrm{2x}_{\mathrm{3}} =\frac{−\mathrm{5}}{\mathrm{a}}\:\:\Rightarrow\mathrm{x}_{\mathrm{3}} =\frac{−\mathrm{5}}{\mathrm{2a}}…\left(\mathrm{iii}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{ii}\right)\&\left(\mathrm{iii}\right)\Rightarrow\mathrm{4a}−\mathrm{2c}=−\mathrm{5}\Rightarrow\mathrm{a}=\frac{\mathrm{2c}−\mathrm{5}}{\mathrm{4}}…\left(\mathrm{v}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{iii}\right)\&\left(\mathrm{i}\right)\Rightarrow\mathrm{2a}−\mathrm{2b}=−\mathrm{5}\Rightarrow\mathrm{b}=\frac{\mathrm{2a}+\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\:=\frac{\mathrm{2c}+\mathrm{5}}{\mathrm{4}}\:\:…\left(\mathrm{vi}\right) \\ $$$$\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{8}}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{16}}\Rightarrow\mathrm{a}+\mathrm{2b}+\mathrm{4c}=\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{2c}−\mathrm{5}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{2c}+\mathrm{5}}{\mathrm{2}}+\mathrm{4c}=\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{2}}\Rightarrow\mathrm{c}=\frac{\mathrm{45}}{\mathrm{22}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=\frac{\mathrm{2c}−\mathrm{5}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{2c}+\mathrm{5}}{\mathrm{4}}+\mathrm{c}=\mathrm{2c}=\frac{\mathrm{45}}{\mathrm{11}} \\ $$

Commented by mr W last updated on 03/Nov/25

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