Question-225892

Question Number 225892 by mnjuly1970 last updated on 15/Nov/25

Answered by A5T last updated on 15/Nov/25

Let O be the centre of the circle and OX=d Let OB=r⇒XB=r−d; AX=a+b+c=e AO=(√(e^2 +d^2 )) ∠BYC=90° ⇒ XHYC is cyclic ⇒AH×AX=AY×AC=AO^2 −r^2 ⇒(a+b)(a+b+c)=e^2 +d^2 −r^2 ⇒(a+b+c)(−c)=d^2 −r^2 ...(i) XF×XG=XB×XC⇒ (b+c)^2 =(r−d)(r+d) ⇒(b+c)^2 =r^2 −d^2 ...(ii) (ii) in (i) ⇒(a+b+c)(−c)=−(b+c)^2 ⇒ac+bc+c^2 =b^2 +c^2 +2bc⇒b^2 =ac−bc ⇒(a/b)−(b/c)=1

$$\mathrm{Let}\:\mathrm{O}\:\mathrm{be}\:\mathrm{the}\:\mathrm{centre}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{circle}\:\mathrm{and}\:\mathrm{OX}=\mathrm{d} \\ $$$$\mathrm{Let}\:\mathrm{OB}=\mathrm{r}\Rightarrow\mathrm{XB}=\mathrm{r}−\mathrm{d};\:\mathrm{AX}=\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=\mathrm{e} \\ $$$$\mathrm{AO}=\sqrt{\mathrm{e}^{\mathrm{2}} +\mathrm{d}^{\mathrm{2}} }\: \\ $$$$\angle\mathrm{BYC}=\mathrm{90}°\:\Rightarrow\:\mathrm{XHYC}\:\mathrm{is}\:\mathrm{cyclic} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{AH}×\mathrm{AX}=\mathrm{AY}×\mathrm{AC}=\mathrm{AO}^{\mathrm{2}} −\mathrm{r}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)=\mathrm{e}^{\mathrm{2}} +\mathrm{d}^{\mathrm{2}} −\mathrm{r}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left(−\mathrm{c}\right)=\mathrm{d}^{\mathrm{2}} −\mathrm{r}^{\mathrm{2}} …\left(\mathrm{i}\right) \\ $$$$\mathrm{XF}×\mathrm{XG}=\mathrm{XB}×\mathrm{XC}\Rightarrow\:\left(\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)^{\mathrm{2}} =\left(\mathrm{r}−\mathrm{d}\right)\left(\mathrm{r}+\mathrm{d}\right) \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{r}^{\mathrm{2}} −\mathrm{d}^{\mathrm{2}} …\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{ii}\right)\:\mathrm{in}\:\left(\mathrm{i}\right)\:\Rightarrow\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left(−\mathrm{c}\right)=−\left(\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{ac}+\mathrm{bc}+\mathrm{c}^{\mathrm{2}} =\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2bc}\Rightarrow\mathrm{b}^{\mathrm{2}} =\mathrm{ac}−\mathrm{bc} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}−\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}=\mathrm{1} \\ $$

Answered by A5T last updated on 15/Nov/25

∠BYC=∠90°⇒XHYC cyclic ⇒AH×AX=AY×AC Let AX meet circle again at G, then FYCG cyclic ⇒AF×AG=AY×YC ⇒AH×AX=AF×AG ⇒(a+b)(a+b+c)=a[a+(b+c)+(b+c)] ⇒b^2 =ac−bc ⇒ (a/b)−(b/c)=1

$$\angle\mathrm{BYC}=\angle\mathrm{90}°\Rightarrow\mathrm{XHYC}\:\mathrm{cyclic}\: \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{AH}×\mathrm{AX}=\mathrm{AY}×\mathrm{AC} \\ $$$$\mathrm{Let}\:\mathrm{AX}\:\mathrm{meet}\:\mathrm{circle}\:\mathrm{again}\:\mathrm{at}\:\mathrm{G},\:\mathrm{then}\:\mathrm{FYCG}\:\mathrm{cyclic} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{AF}×\mathrm{AG}=\mathrm{AY}×\mathrm{YC} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{AH}×\mathrm{AX}=\mathrm{AF}×\mathrm{AG} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)=\mathrm{a}\left[\mathrm{a}+\left(\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)+\left(\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\right] \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{b}^{\mathrm{2}} =\mathrm{ac}−\mathrm{bc}\:\Rightarrow\:\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}−\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}=\mathrm{1} \\ $$

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