Question Number 226148 by Spillover last updated on 20/Nov/25
Answered by MrAjder last updated on 02/Jan/26
$${L}=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{4}} }\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}\underset{{r}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−{k}+\mathrm{1}} {\sum}}{r} \\ $$$$\underset{{r}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\sum}}{r}=\frac{{m}\left({m}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}} \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}\underset{{r}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−{k}+\mathrm{1}} {\sum}}{r}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}\left({n}−{k}+\mathrm{1}\right)\left({n}−{k}+\mathrm{2}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(−{k}^{\mathrm{3}} +{nk}^{\mathrm{2}} +\left({n}+\mathrm{1}\right){k}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(−\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}^{\mathrm{3}} +{nk}^{\mathrm{2}} +\left({n}+\mathrm{1}\right){k}\right) \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}=\frac{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}},\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}^{\mathrm{2}} =\frac{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}},\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}^{\mathrm{3}} =\frac{{n}^{\mathrm{2}} \left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}} \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}\underset{{r}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−{k}+\mathrm{1}} {\sum}}{r}=\frac{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)\left({n}+\mathrm{2}\right)\left({n}+\mathrm{3}\right)}{\mathrm{24}} \\ $$$${L}=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)\left({n}+\mathrm{2}\right)\left({n}+\mathrm{3}\right)}{\mathrm{24}{n}^{\mathrm{4}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{24}} \\ $$