Question Number 226610 by Spillover last updated on 07/Dec/25
Answered by mr W last updated on 07/Dec/25
$$\mathrm{2}\left(\mathrm{12}\:\mathrm{cos}\:\frac{\pi{x}}{\mathrm{3}}+\mathrm{5}\:\mathrm{sin}\:\frac{\pi{x}}{\mathrm{3}}\right)=\mathrm{13} \\ $$$$\frac{\mathrm{12}}{\mathrm{13}}\:\mathrm{cos}\:\frac{\pi{x}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{13}}\:\mathrm{sin}\:\frac{\pi{x}}{\mathrm{3}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$${with}\:\alpha=\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{5}}{\mathrm{12}}=\mathrm{sin}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{5}}{\mathrm{13}}=\mathrm{cos}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{12}}{\mathrm{13}} \\ $$$$\mathrm{cos}\:\alpha\:\mathrm{cos}\:\frac{\pi{x}}{\mathrm{3}}+\mathrm{sin}\:\alpha\:\mathrm{sin}\:\frac{\pi{x}}{\mathrm{3}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{cos}\:\left(\frac{\pi{x}}{\mathrm{3}}−\alpha\right)=\mathrm{cos}\:\frac{\pi}{\mathrm{3}} \\ $$$$\frac{\pi{x}}{\mathrm{3}}−\alpha=\mathrm{2}{n}\pi\pm\frac{\pi}{\mathrm{3}} \\ $$$$\Rightarrow{x}=\frac{\mathrm{3}}{\pi}\left(\mathrm{2}{n}\pi\pm\frac{\pi}{\mathrm{3}}+\alpha\right) \\ $$$$\Rightarrow{x}=\mathrm{6}{n}\pm\mathrm{1}+\frac{\mathrm{3}}{\pi}\:\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{5}}{\mathrm{12}} \\ $$
Commented by Spillover last updated on 07/Dec/25
$${thanks} \\ $$