Question Number 226766 by mr W last updated on 13/Dec/25
Answered by mahdipoor last updated on 13/Dec/25
$$\mathrm{if}\:\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{ax}+\mathrm{b}\:\Rightarrow \\ $$$$\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{2x}+\mathrm{1}\:\mathrm{or}\:−\mathrm{2x}−\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{but}\:\mathrm{its}\:\mathrm{only}\:\mathrm{answer}? \\ $$$$\mathrm{all}\:\mathrm{function}\:\mathrm{can}\:\mathrm{show}\:\mathrm{as}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{i}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{m}} {\sum}}\left(\mathrm{a}_{\mathrm{i}} \mathrm{x}^{\mathrm{i}} \right)\:\:\left(\mathrm{teylor}\:\mathrm{exp}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)=\left(\mathrm{a}_{\mathrm{m}} \right)^{\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{m}} +…=\mathrm{4x}+\mathrm{3}\Rightarrow\mathrm{a}_{\mathrm{m}} =\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{Now}\:\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{i}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{m}−\mathrm{1}} {\sum}}\left(\mathrm{a}_{\mathrm{i}} \mathrm{x}^{\mathrm{i}} \right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)=\left(\mathrm{a}_{\mathrm{m}−\mathrm{1}} \right)^{\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{m}−\mathrm{1}} +…=\mathrm{4x}+\mathrm{3}\Rightarrow\mathrm{a}_{\mathrm{m}−\mathrm{1}} =\mathrm{0} \\ $$$$… \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{just}\:\:\mathrm{a}_{\mathrm{2}} \:,\:\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \:\neq\mathrm{0} \\ $$
Commented by mr W last updated on 14/Dec/25
��
Commented by aleks041103 last updated on 24/Dec/25
$$\mathrm{What}\:\mathrm{if}\:\mathrm{the}\:\mathrm{function}\:\mathrm{cannot}\:\mathrm{be}\:\mathrm{expanded}\:\mathrm{in} \\ $$$$\mathrm{taylor}\:\mathrm{series}? \\ $$$$\mathrm{For}\:\mathrm{example}: \\ $$$${f}\left({x}\right)={e}^{−\mathrm{1}/{x}^{\mathrm{2}} } \:\mathrm{around}\:{x}=\mathrm{0} \\ $$