Question Number 227393 by fantastic2 last updated on 20/Jan/26
$${x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}=\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{…}}}} \\ $$$${x}=? \\ $$
Answered by Ghisom_ last updated on 20/Jan/26
$${x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}={y} \\ $$$${y}=\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{y}} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}=\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}} \\ $$$${x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +{x}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{4}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{19}}{\mathrm{16}}=\mathrm{0} \\ $$$$\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} =−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\pm\frac{\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}} \\ $$$${x}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\pm\frac{\sqrt{−\mathrm{1}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}}}{\mathrm{2}}\vee{x}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\pm\frac{\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}}}{\mathrm{2}}\mathrm{i} \\ $$