Question Number 74614 by chess1 last updated on 27/Nov/19
Answered by mind is power last updated on 27/Nov/19
![we can extend without and U_(i+n) =a_i ,∀i∈[1,n] U_i .U_(i+1) +1=U_(i+2) ⇒a_(n+3) =a_3 ,if a_1 ,.......a_n the sequence U_n exist since is (a_(1,) ,a_2 ,.....a_n )is repeted infintly times if U_n exist ⇒a_i existe tack just n+2 first therm so we can extend a_i without lost a_(i+1) a_i +1=a_(i+2) { ((a_(i+2) a_(i+1) +1=a_(i+3) ......1)),((a_i a_(i+1) +1=a_(i+2) ...2)) :} 1∗a_i −..2∗a_(i+2) ⇒a_i a_(i+3) −a_(i+2) ^2 =a_i −a_(i+2) Σ_(i=1) ^n (a_i a_(i+3) −a_(i+2) ^2 )=Σ_(i=1) ^n a_i −a_(i+2) =a_1 +a_2 −a_(n+2) −a_(n+1) =0 ⇒Σ_(i=1) ^n (a_i a_(i+3) −a_(i+2) ^2 )=0...E Σ_(i=1) ^n a_(i+2) =Σ_(k=1) ^n a_k ^2 ,since a_(n+1) =a_1 &a_(n+2) =a_2 ⇒E⇔Σ_(k=1) ^n (a_k a_(k+3) −a_k ^2 )=0 Σ_(k=1) ^n a_(k+3) ^2 =Σ_(k=1) ^n a_k ^2 −a_3 ^2 +a_(n+3) ^2 ,withe our expended series =Σ_(k=1) ^n a_k ^2 ⇒E⇔2Σ_(k=1) ^n a_k a_(k+3) −2Σ_(k=1) ^n a_k ^2 =0 ⇒Σ_(k=1) ^n (a_k ^2 +a_(k+3) ^2 −2a_k a_(k+3) )=0⇒Σ_(k=1) ^n (a_(k+3) −a_k )^2 ⇒∀k∈[0,n] a_(k+3) =a_k ⇒ 3∣n if periode 1 ⇒a_3 =a_2 =a_1 ⇒a_1 ^2 +1=a_1 since X^2 −X+1=0has non solution overR ⇒a_n can not constante for n=3 (−1,−1,2)=(a_1 ,a_2 ,a_3 ) worcks a_4 =−1=a_(3+1) =a_1 a_5 =−1.2+1=−1=a_(3+2) =a_2 the smalest periodicity is 3](https://www.tinkutara.com/question/Q74626.png)
$$\mathrm{we}\:\mathrm{can}\:\mathrm{extend}\:\mathrm{without} \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{U}_{\mathrm{i}+\mathrm{n}} =\mathrm{a}_{\mathrm{i}} ,\forall\mathrm{i}\in\left[\mathrm{1},\mathrm{n}\right] \\ $$$$\mathrm{U}_{\mathrm{i}} .\mathrm{U}_{\mathrm{i}+\mathrm{1}} +\mathrm{1}=\mathrm{U}_{\mathrm{i}+\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{3}} =\mathrm{a}_{\mathrm{3}} ,\mathrm{if}\:\mathrm{a}_{\mathrm{1}} ,…….\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{sequence}\:\mathrm{U}_{\mathrm{n}} \mathrm{exist}\:\mathrm{since}\:\mathrm{is}\:\left(\mathrm{a}_{\mathrm{1},} ,\mathrm{a}_{\mathrm{2}} ,…..\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \right)\mathrm{is}\:\mathrm{repeted}\:\mathrm{infintly}\:\mathrm{times} \\ $$$$\mathrm{if}\:\mathrm{U}_{\mathrm{n}} \mathrm{exist}\:\:\Rightarrow\mathrm{a}_{\mathrm{i}} \mathrm{existe}\:\mathrm{tack}\:\mathrm{just}\:\mathrm{n}+\mathrm{2}\:\mathrm{first}\:\mathrm{therm} \\ $$$$\mathrm{so}\:\mathrm{we}\:\mathrm{can}\:\mathrm{extend} \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{i}} \:\mathrm{without}\:\mathrm{lost}\:\mathrm{a}_{\mathrm{i}+\mathrm{1}} \mathrm{a}_{\mathrm{i}} +\mathrm{1}=\mathrm{a}_{\mathrm{i}+\mathrm{2}} \\ $$$$\begin{cases}{\mathrm{a}_{\mathrm{i}+\mathrm{2}} \mathrm{a}_{\mathrm{i}+\mathrm{1}} +\mathrm{1}=\mathrm{a}_{\mathrm{i}+\mathrm{3}} ……\mathrm{1}}\\{\mathrm{a}_{\mathrm{i}} \mathrm{a}_{\mathrm{i}+\mathrm{1}} +\mathrm{1}=\mathrm{a}_{\mathrm{i}+\mathrm{2}} …\mathrm{2}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{1}\ast\mathrm{a}_{\mathrm{i}} −..\mathrm{2}\ast\mathrm{a}_{\mathrm{i}+\mathrm{2}} \Rightarrow\mathrm{a}_{\mathrm{i}} \mathrm{a}_{\mathrm{i}+\mathrm{3}} −\mathrm{a}_{\mathrm{i}+\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} =\mathrm{a}_{\mathrm{i}} −\mathrm{a}_{\mathrm{i}+\mathrm{2}} \\ $$$$\underset{\mathrm{i}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\left(\mathrm{a}_{\mathrm{i}} \mathrm{a}_{\mathrm{i}+\mathrm{3}} −\mathrm{a}_{\mathrm{i}+\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} \right)=\underset{\mathrm{i}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\mathrm{a}_{\mathrm{i}} −\mathrm{a}_{\mathrm{i}+\mathrm{2}} =\mathrm{a}_{\mathrm{1}} +\mathrm{a}_{\mathrm{2}} −\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{2}} −\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\underset{\mathrm{i}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\left(\mathrm{a}_{\mathrm{i}} \mathrm{a}_{\mathrm{i}+\mathrm{3}} −\mathrm{a}_{\mathrm{i}+\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} \right)=\mathrm{0}…\mathrm{E} \\ $$$$\underset{\mathrm{i}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\mathrm{a}_{\mathrm{i}+\mathrm{2}} =\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\mathrm{a}_{\mathrm{k}} ^{\mathrm{2}} ,\mathrm{since}\:\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \&\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{2}} =\mathrm{a}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{E}\Leftrightarrow\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\left(\mathrm{a}_{\mathrm{k}} \mathrm{a}_{\mathrm{k}+\mathrm{3}} −\mathrm{a}_{\mathrm{k}} ^{\mathrm{2}} \right)=\mathrm{0} \\ $$$$\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\mathrm{a}_{\mathrm{k}+\mathrm{3}} ^{\mathrm{2}} =\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\mathrm{a}_{\mathrm{k}} ^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}_{\mathrm{3}} ^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{3}} ^{\mathrm{2}} ,\mathrm{withe}\:\mathrm{our}\:\mathrm{expended}\:\mathrm{series}\:=\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\mathrm{a}_{\mathrm{k}} ^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{E}\Leftrightarrow\mathrm{2}\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\mathrm{a}_{\mathrm{k}} \mathrm{a}_{\mathrm{k}+\mathrm{3}} −\mathrm{2}\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\mathrm{a}_{\mathrm{k}} ^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\left(\mathrm{a}_{\mathrm{k}} ^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}_{\mathrm{k}+\mathrm{3}} ^{\mathrm{2}} −\mathrm{2a}_{\mathrm{k}} \mathrm{a}_{\mathrm{k}+\mathrm{3}} \right)=\mathrm{0}\Rightarrow\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\left(\mathrm{a}_{\mathrm{k}+\mathrm{3}} −\mathrm{a}_{\mathrm{k}} \right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\forall\mathrm{k}\in\left[\mathrm{0},\mathrm{n}\right] \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{k}+\mathrm{3}} =\mathrm{a}_{\mathrm{k}} \Rightarrow\:\:\:\mathrm{3}\mid\mathrm{n} \\ $$$$\mathrm{if}\:\mathrm{periode}\:\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{a}_{\mathrm{3}} =\mathrm{a}_{\mathrm{2}} =\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \Rightarrow\mathrm{a}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}=\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \mathrm{since}\:\mathrm{X}^{\mathrm{2}} −\mathrm{X}+\mathrm{1}=\mathrm{0has}\:\mathrm{non}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{over}\mathbb{R} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{can}\:\mathrm{not}\:\mathrm{constante} \\ $$$$\mathrm{for}\:\mathrm{n}=\mathrm{3} \\ $$$$\left(−\mathrm{1},−\mathrm{1},\mathrm{2}\right)=\left(\mathrm{a}_{\mathrm{1}} ,\mathrm{a}_{\mathrm{2}} ,\mathrm{a}_{\mathrm{3}} \right) \\ $$$$\mathrm{worcks} \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{4}} =−\mathrm{1}=\mathrm{a}_{\mathrm{3}+\mathrm{1}} =\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{5}} =−\mathrm{1}.\mathrm{2}+\mathrm{1}=−\mathrm{1}=\mathrm{a}_{\mathrm{3}+\mathrm{2}} =\mathrm{a}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{smalest}\:\mathrm{periodicity}\:\mathrm{is}\:\mathrm{3} \\ $$$$ \\ $$
Commented by chess1 last updated on 27/Nov/19
$$\mathrm{great} \\ $$