Question Number 140531 by Willson last updated on 09/May/21
$$\mathrm{Prove}\:\mathrm{that}\:\:\underset{\mathrm{0}} {\int}^{\:\mathrm{x}} \:\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{e}^{\mathrm{t}} −\mathrm{1}}\:\mathrm{dt}\:=\:\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{+\infty} {\sum}}\:\frac{\left(\mathrm{1}−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} } \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 09/May/21
![∫_0 ^x (t/(e^t −1))dt =∫_0 ^x ((te^(−t) )/(1−e^(−t) ))dt =∫_0 ^x te^(−t) Σ_(n.0) ^∞ e^(−nt) dt =Σ_(n=0) ^∞ ∫_0 ^x t e^(−(n+1)t) dt =_((n+1)t=y) Σ_(n=0) ^∞ ∫_0 ^((n+1)x) (y/(n+1))e^(−y) (dy/(n+1)) =Σ_(n=0) ^∞ (1/((n+1)^2 ))∫_0 ^((n+1)x) ye^(−y) dy and ∫_0 ^((n+1)x) y e^(−y) dy =[−y e^(−y) ]_0 ^((n+1)x) +∫_0 ^((n+1)x) e^(−y) dy =−(n+1)x e^(−(n+1)x) +[−e^(−y) ]_0 ^((n+1)x) =−(n+1)xe^(−(n+1)x) +1−e^(−(n+1)x) =−((n+1)x +1)e^(−(n+1)x) +1 ⇒ ∫_0 ^x (t/(e^t −1))dt =Σ_(n=0) ^∞ (1/((n+1)^2 ))(1−((n+1)x)e^(−(n+1)x) +1) =Σ_(n=1) ^∞ (1/n^2 )(1−nx)e^(−nx) +Σ_(n=1) ^∞ (1/n^2 ) =(π^2 /6) +Σ_(n=1) ^∞ (((1−nx)e^(−nx) )/n^2 ) ....](https://www.tinkutara.com/question/Q140583.png)
$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{x}} \:\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{e}^{\mathrm{t}} −\mathrm{1}}\mathrm{dt}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{x}} \:\frac{\mathrm{te}^{−\mathrm{t}} }{\mathrm{1}−\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} }\mathrm{dt}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{x}} \:\mathrm{te}^{−\mathrm{t}} \sum_{\mathrm{n}.\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{nt}} \mathrm{dt} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{x}} \:\mathrm{t}\:\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{t}} \:\mathrm{dt}\:=_{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{t}=\mathrm{y}} \:\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\int_{\mathrm{0}} ^{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}} \:\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\mathrm{e}^{−\mathrm{y}} \:\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\int_{\mathrm{0}} ^{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}} \:\mathrm{ye}^{−\mathrm{y}} \:\mathrm{dy}\:\:\mathrm{and} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}} \:\mathrm{y}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{y}} \:\mathrm{dy}\:=\left[−\mathrm{y}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{y}} \right]_{\mathrm{0}} ^{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}} +\int_{\mathrm{0}} ^{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{y}} \:\mathrm{dy} \\ $$$$=−\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}\:\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}} +\left[−\mathrm{e}^{−\mathrm{y}} \right]_{\mathrm{0}} ^{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}} \\ $$$$=−\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{xe}^{−\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}} \:+\mathrm{1}−\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}} \: \\ $$$$=−\left(\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}\:+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}} \:+\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{x}} \:\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{e}^{\mathrm{t}} −\mathrm{1}}\mathrm{dt}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\left(\mathrm{1}−\left(\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}} \:+\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\left(\mathrm{1}−\mathrm{nx}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{nx}} +\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}\:+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(\mathrm{1}−\mathrm{nx}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{nx}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\:…. \\ $$