Question Number 75976 by mathocean1 last updated on 21/Dec/19
![hello solve it in ]−π;π] and place solutions in trigonometric circle. cos^6 x+sin^6 x=(3/8)((√3)sin4x+(8/3)) please help me...](https://www.tinkutara.com/question/Q75976.png)
$$\left.\mathrm{h}\left.\mathrm{ello}\:\:\mathrm{solve}\:\mathrm{it}\:\mathrm{in}\:\right]−\pi;\pi\right]\:\mathrm{and}\:\mathrm{place}\:\mathrm{solutions} \\ $$$$\mathrm{in}\:\mathrm{trigonometric}\:\mathrm{circle}. \\ $$$$\mathrm{cos}^{\mathrm{6}} \mathrm{x}+\mathrm{sin}^{\mathrm{6}} \mathrm{x}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{sin4x}+\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}}\right) \\ $$$$\mathrm{please}\:\mathrm{help}\:\mathrm{me}… \\ $$
Commented by MJS last updated on 21/Dec/19
![cos^6 x +sin^6 x = [cos^2 x =1−sin^2 x] =3sin^4 x −3sin^2 x +1=1+3sin^2 x (sin^2 x −1)= =1−3sin^2 x (1−sin^2 x)=1−3sin^2 x cos^2 x = =(5/8)+(3/8)cos 4x (5/8)+(3/8)cos 4x =1+((3(√3))/8)sin 4x cos 4x −(√3)sin 4x −1=0 x=(1/2)arctan t ⇔ t=tan 2x −((2t(t+(√3)))/(t^2 +1))=0 ⇒ t_1 =0∧t_2 =−(√3) tan 2x =0 ⇒ x=−(π/2)∨x=0∨x=(π/2)∨x=π tan 2x =−(√3) ⇒ x=−((2π)/3)∨x=−(π/6)∨x=(π/3)∨x=((5π)/6)](https://www.tinkutara.com/question/Q75998.png)
$$\mathrm{cos}^{\mathrm{6}} \:{x}\:+\mathrm{sin}^{\mathrm{6}} \:{x}\:= \\ $$$$\:\:\:\:\:\left[\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:{x}\:=\mathrm{1}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:{x}\right] \\ $$$$=\mathrm{3sin}^{\mathrm{4}} \:{x}\:−\mathrm{3sin}^{\mathrm{2}} \:{x}\:+\mathrm{1}=\mathrm{1}+\mathrm{3sin}^{\mathrm{2}} \:{x}\:\left(\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:{x}\:−\mathrm{1}\right)= \\ $$$$=\mathrm{1}−\mathrm{3sin}^{\mathrm{2}} \:{x}\:\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:{x}\right)=\mathrm{1}−\mathrm{3sin}^{\mathrm{2}} \:{x}\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:{x}\:= \\ $$$$=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{8}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}\mathrm{cos}\:\mathrm{4}{x} \\ $$$$ \\ $$$$\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{8}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}\mathrm{cos}\:\mathrm{4}{x}\:=\mathrm{1}+\frac{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{8}}\mathrm{sin}\:\mathrm{4}{x} \\ $$$$\mathrm{cos}\:\mathrm{4}{x}\:−\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{sin}\:\mathrm{4}{x}\:−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$${x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{arctan}\:{t}\:\Leftrightarrow\:{t}=\mathrm{tan}\:\mathrm{2}{x} \\ $$$$−\frac{\mathrm{2}{t}\left({t}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)}{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:{t}_{\mathrm{1}} =\mathrm{0}\wedge{t}_{\mathrm{2}} =−\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{tan}\:\mathrm{2}{x}\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{x}=−\frac{\pi}{\mathrm{2}}\vee{x}=\mathrm{0}\vee{x}=\frac{\pi}{\mathrm{2}}\vee{x}=\pi \\ $$$$\mathrm{tan}\:\mathrm{2}{x}\:=−\sqrt{\mathrm{3}}\:\Rightarrow\:{x}=−\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}}\vee{x}=−\frac{\pi}{\mathrm{6}}\vee{x}=\frac{\pi}{\mathrm{3}}\vee{x}=\frac{\mathrm{5}\pi}{\mathrm{6}} \\ $$
Commented by mathocean1 last updated on 22/Dec/19
$$\mathrm{please}\:\mathrm{how}\:\mathrm{have}\:\mathrm{you}\:\mathrm{done}\:\mathrm{to}\:\mathrm{have}\: \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{line}\:\mathrm{number}\:\mathrm{5} \\ $$$$\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{8}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}\mathrm{cos4}{x} \\ $$
Commented by MJS last updated on 22/Dec/19
![1−3sin^2 x cos^2 x =1−3(sin x cos x)^2 = [sin x cos x =(1/2)sin 2x =1−3(((sin 2x)/2))^2 =1−(3/4)sin^2 2x = [sin^2 x =(1/2)(1−cos 2x)] =1−(3/4)((1/2)−cos 4x)=(5/8)+(3/8)cos 4x](https://www.tinkutara.com/question/Q76029.png)
$$\mathrm{1}−\mathrm{3sin}^{\mathrm{2}} \:{x}\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:{x}\:=\mathrm{1}−\mathrm{3}\left(\mathrm{sin}\:{x}\:{cos}\:{x}\right)^{\mathrm{2}} = \\ $$$$\:\:\:\:\:\left[\mathrm{sin}\:{x}\:\mathrm{cos}\:{x}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}\right. \\ $$$$=\mathrm{1}−\mathrm{3}\left(\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{1}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{2}{x}\:= \\ $$$$\:\:\:\:\:\left[\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:{x}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}\right)\right] \\ $$$$=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\mathrm{cos}\:\mathrm{4}{x}\right)=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{8}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}\mathrm{cos}\:\mathrm{4}{x} \\ $$