Question Number 877 by sagarwal last updated on 07/Apr/15
$$\mathrm{An}\:\mathrm{8}×\mathrm{8}\:\mathrm{checkerboard}\:\mathrm{is}\:\mathrm{to}\:\mathrm{be}\:\mathrm{coloured} \\ $$$$\mathrm{with}\:\mathrm{6}\:\mathrm{colors}\:\:\mathrm{in}\:\mathrm{a}\:\mathrm{way}\:\mathrm{that}\:\mathrm{no}\:\mathrm{2}\:\mathrm{adjacent} \\ $$$$\mathrm{cells}\:\left(\mathrm{sharing}\:\mathrm{side}\right)\:\mathrm{have}\:\mathrm{the}\:\mathrm{same}\:\mathrm{color}.\:\mathrm{In}\:\mathrm{how} \\ $$$$\mathrm{many}\:\mathrm{ways}\:\mathrm{can}\:\mathrm{it}\:\mathrm{be}\:\mathrm{done}. \\ $$
Commented by 123456 last updated on 12/Apr/15
![[(6,5,5,5,5,5,5,5),(5,4,4,4,4,4,4,4),(5,4,4,4,4,4,4,4),(5,4,4,4,4,4,4,4),(5,4,4,4,4,4,4,4),(5,4,4,4,4,4,4,4),(5,4,4,4,4,4,4,4),(5,4,4,4,4,4,4,4) ] k=6×5^(7+7) ×4^(7×7) k=6×5^(14) ×4^(49) k=(2×3)×5^(14) ×(2^2 )^(49) k=2×3×5^(14) ×2^(2×49) k=2×3×5^(14) ×2^(98) k=2^(98+1) ×3×5^(14) k=2^(99) ×3×5^(14) log k=log (2^(99) ×3×5^(14) ) log k=99log 2+log 3+14log 5 log k=((99ln 2+ln 3+14ln 5)/(ln 10)) log k≈40,06 40⪅log k<41 10^(40) ⪅k<10^(41)](https://www.tinkutara.com/question/Q882.png)
$$\begin{bmatrix}{\mathrm{6}}&{\mathrm{5}}&{\mathrm{5}}&{\mathrm{5}}&{\mathrm{5}}&{\mathrm{5}}&{\mathrm{5}}&{\mathrm{5}}\\{\mathrm{5}}&{\mathrm{4}}&{\mathrm{4}}&{\mathrm{4}}&{\mathrm{4}}&{\mathrm{4}}&{\mathrm{4}}&{\mathrm{4}}\\{\mathrm{5}}&{\mathrm{4}}&{\mathrm{4}}&{\mathrm{4}}&{\mathrm{4}}&{\mathrm{4}}&{\mathrm{4}}&{\mathrm{4}}\\{\mathrm{5}}&{\mathrm{4}}&{\mathrm{4}}&{\mathrm{4}}&{\mathrm{4}}&{\mathrm{4}}&{\mathrm{4}}&{\mathrm{4}}\\{\mathrm{5}}&{\mathrm{4}}&{\mathrm{4}}&{\mathrm{4}}&{\mathrm{4}}&{\mathrm{4}}&{\mathrm{4}}&{\mathrm{4}}\\{\mathrm{5}}&{\mathrm{4}}&{\mathrm{4}}&{\mathrm{4}}&{\mathrm{4}}&{\mathrm{4}}&{\mathrm{4}}&{\mathrm{4}}\\{\mathrm{5}}&{\mathrm{4}}&{\mathrm{4}}&{\mathrm{4}}&{\mathrm{4}}&{\mathrm{4}}&{\mathrm{4}}&{\mathrm{4}}\\{\mathrm{5}}&{\mathrm{4}}&{\mathrm{4}}&{\mathrm{4}}&{\mathrm{4}}&{\mathrm{4}}&{\mathrm{4}}&{\mathrm{4}}\end{bmatrix} \\ $$$${k}=\mathrm{6}×\mathrm{5}^{\mathrm{7}+\mathrm{7}} ×\mathrm{4}^{\mathrm{7}×\mathrm{7}} \\ $$$${k}=\mathrm{6}×\mathrm{5}^{\mathrm{14}} ×\mathrm{4}^{\mathrm{49}} \\ $$$${k}=\left(\mathrm{2}×\mathrm{3}\right)×\mathrm{5}^{\mathrm{14}} ×\left(\mathrm{2}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{49}} \\ $$$${k}=\mathrm{2}×\mathrm{3}×\mathrm{5}^{\mathrm{14}} ×\mathrm{2}^{\mathrm{2}×\mathrm{49}} \\ $$$${k}=\mathrm{2}×\mathrm{3}×\mathrm{5}^{\mathrm{14}} ×\mathrm{2}^{\mathrm{98}} \\ $$$${k}=\mathrm{2}^{\mathrm{98}+\mathrm{1}} ×\mathrm{3}×\mathrm{5}^{\mathrm{14}} \\ $$$${k}=\mathrm{2}^{\mathrm{99}} ×\mathrm{3}×\mathrm{5}^{\mathrm{14}} \\ $$$$\mathrm{log}\:{k}=\mathrm{log}\:\left(\mathrm{2}^{\mathrm{99}} ×\mathrm{3}×\mathrm{5}^{\mathrm{14}} \right) \\ $$$$\mathrm{log}\:{k}=\mathrm{99log}\:\mathrm{2}+\mathrm{log}\:\mathrm{3}+\mathrm{14log}\:\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{log}\:{k}=\frac{\mathrm{99ln}\:\mathrm{2}+\mathrm{ln}\:\mathrm{3}+\mathrm{14ln}\:\mathrm{5}}{\mathrm{ln}\:\mathrm{10}} \\ $$$$\mathrm{log}\:{k}\approx\mathrm{40},\mathrm{06} \\ $$$$\mathrm{40}\lessapprox\mathrm{log}\:{k}<\mathrm{41} \\ $$$$\mathrm{10}^{\mathrm{40}} \lessapprox{k}<\mathrm{10}^{\mathrm{41}} \\ $$
Commented by prakash jain last updated on 13/Apr/15
$$\mathrm{If}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{only}\:\mathrm{2}\:\mathrm{color}\:\mathrm{the}\:\mathrm{grid}\:\mathrm{approach} \\ $$$$\mathrm{fills}\:\mathrm{with}\:\mathrm{0s}.\:\mathrm{I}\:\mathrm{think}\:\mathrm{what}\:\mathrm{is}\:\mathrm{missing}\:\mathrm{are} \\ $$$$\mathrm{special}\:\mathrm{cases}\:\mathrm{when}\:\mathrm{all}\:\mathrm{adjacent}\:\mathrm{cells}\:\mathrm{are} \\ $$$$\mathrm{filled}\:\mathrm{with}\:\mathrm{same}\:\mathrm{color}\:\mathrm{as}\:\mathrm{in}\:\mathrm{2}−\mathrm{color}\:\mathrm{cases}. \\ $$