Question Number 144394 by SOMEDAVONG last updated on 25/Jun/21
$$\mathrm{L}=\underset{\mathrm{n}\rightarrow+\propto} {\mathrm{lim}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{2}}\:+…+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{n}}\right)=? \\ $$
Commented by Canebulok last updated on 25/Jun/21
![Solution: ⇒ lim_(n→+∞) (Σ_(k=1) ^n (1/(n+k))) = L ⇒ lim_(n→+∞) ((1/n)) (Σ_(k=1) ^n (n/(n+k))) = L ⇒ lim_(n→+∞) ((1/n)) (Σ_(k=1) ^n (1/((1+(k/n)))) ) = L ∴ ⇒ ∫_0 ^( 1) (1/(x+1)) dx = [Ln(∣x+1∣)]_0 ^1 ⇒ L = Ln(∣2∣)](https://www.tinkutara.com/question/Q144397.png)
$$\: \\ $$$$\boldsymbol{{Solution}}: \\ $$$$\Rightarrow\:\underset{{n}\rightarrow+\infty} {\mathrm{lim}}\:\left(\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\:\:\frac{\mathrm{1}}{{n}+{k}}\right)\:=\:{L} \\ $$$$\Rightarrow\:\underset{{n}\rightarrow+\infty} {\mathrm{lim}}\:\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)\:\left(\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\:\:\frac{{n}}{{n}+{k}}\right)\:=\:{L} \\ $$$$\Rightarrow\:\underset{{n}\rightarrow+\infty} {\mathrm{lim}}\:\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)\:\left(\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+\frac{{k}}{{n}}\right)}\:\right)\:=\:{L} \\ $$$$\therefore \\ $$$$\Rightarrow\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{1}}\:{dx}\:=\:\left[{Ln}\left(\mid{x}+\mathrm{1}\mid\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow\:{L}\:=\:{Ln}\left(\mid\mathrm{2}\mid\right) \\ $$