Question Number 152757 by EDWIN88 last updated on 01/Sep/21 $${Find}\:{all}\:{complex}\:{number}\:{z}\:{such} \\ $$$${that}\:\left(\mathrm{3}{z}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{4}{z}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{6}{z}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{12}{z}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{2} \\ $$ Answered by john_santu last updated on 01/Sep/21 $${note}\:{that}\:\mathrm{8}\left(\mathrm{3}{z}+\mathrm{1}\right)\mathrm{6}\left(\mathrm{4}{z}+\mathrm{1}\right)\mathrm{4}\left(\mathrm{6}{z}+\mathrm{1}\right)\mathrm{2}\left(\mathrm{12}{z}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{768} \\ $$$$\left(\mathrm{24}{z}+\mathrm{8}\right)\left(\mathrm{24}{z}+\mathrm{6}\right)\left(\mathrm{24}{z}+\mathrm{4}\right)\left(\mathrm{24}{z}+\mathrm{2}\right)=\mathrm{768} \\…
Question Number 87222 by TawaTawa1 last updated on 03/Apr/20 Commented by TawaTawa1 last updated on 03/Apr/20 $$\mathrm{Circles}\:\:\omega_{\mathrm{1}} \:\:\mathrm{and}\:\:\omega_{\mathrm{2}} \:\:\mathrm{intersect}\:\mathrm{each}\:\mathrm{other}\:\mathrm{at}\:\mathrm{points}\:\:\mathrm{A}\:\:\mathrm{and}\:\:\mathrm{B}. \\ $$$$\mathrm{Point}\:\:\mathrm{C}\:\:\mathrm{lies}\:\mathrm{on}\:\mathrm{the}\:\mathrm{tangent}\:\mathrm{line}\:\mathrm{from}\:\:\mathrm{A}\:\:\mathrm{to}\:\:\omega_{\mathrm{1}} \:\:\mathrm{such}\:\mathrm{that} \\ $$$$\angle\mathrm{ABC}\:\:=\:\:\mathrm{90}°.\:\:\mathrm{Arbitrary}\:\mathrm{line}\:\:\mathrm{L}\:\:\mathrm{passes}\:\mathrm{through}\:\:\mathrm{C}\:\:\mathrm{and} \\…
Question Number 21686 by Tinkutara last updated on 30/Sep/17 $$\mathrm{I}\:\mathrm{have}\:\mathrm{6}\:\mathrm{friends}\:\mathrm{and}\:\mathrm{during}\:\mathrm{a}\:\mathrm{vacation} \\ $$$$\mathrm{I}\:\mathrm{met}\:\mathrm{them}\:\mathrm{during}\:\mathrm{several}\:\mathrm{dinners}.\:\mathrm{I} \\ $$$$\mathrm{found}\:\mathrm{that}\:\mathrm{I}\:\mathrm{dined}\:\mathrm{with}\:\mathrm{all}\:\mathrm{the}\:\mathrm{6}\:\mathrm{exactly} \\ $$$$\mathrm{on}\:\mathrm{1}\:\mathrm{day};\:\mathrm{with}\:\mathrm{every}\:\mathrm{5}\:\mathrm{of}\:\mathrm{them}\:\mathrm{on}\:\mathrm{2}\:\mathrm{days}; \\ $$$$\mathrm{with}\:\mathrm{every}\:\mathrm{4}\:\mathrm{of}\:\mathrm{them}\:\mathrm{on}\:\mathrm{3}\:\mathrm{days};\:\mathrm{with} \\ $$$$\mathrm{every}\:\mathrm{3}\:\mathrm{of}\:\mathrm{them}\:\mathrm{on}\:\mathrm{4}\:\mathrm{days};\:\mathrm{with}\:\mathrm{every}\:\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{of}\:\mathrm{them}\:\mathrm{on}\:\mathrm{5}\:\mathrm{days}.\:\mathrm{Further}\:\mathrm{every}\:\mathrm{friend} \\ $$$$\mathrm{was}\:\mathrm{present}\:\mathrm{at}\:\mathrm{7}\:\mathrm{dinners}\:\mathrm{and}\:\mathrm{every} \\…
Question Number 21685 by Tinkutara last updated on 30/Sep/17 $$\mathrm{In}\:\mathrm{a}\:\mathrm{group}\:\mathrm{of}\:\mathrm{ten}\:\mathrm{persons},\:\mathrm{each}\:\mathrm{person} \\ $$$$\mathrm{is}\:\mathrm{asked}\:\mathrm{to}\:\mathrm{write}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sum}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{ages}\:\mathrm{of} \\ $$$$\mathrm{all}\:\mathrm{the}\:\mathrm{other}\:\mathrm{9}\:\mathrm{persons}.\:\mathrm{If}\:\mathrm{all}\:\mathrm{the}\:\mathrm{ten} \\ $$$$\mathrm{sums}\:\mathrm{form}\:\mathrm{the}\:\mathrm{9}-\mathrm{element}\:\mathrm{set}\:\left\{\mathrm{82},\:\mathrm{83},\:\mathrm{84},\right. \\ $$$$\left.\mathrm{85},\:\mathrm{87},\:\mathrm{90},\:\mathrm{91},\:\mathrm{92}\right\}\:\mathrm{find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{individual} \\ $$$$\mathrm{ages}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{persons}\:\left(\mathrm{assuming}\:\mathrm{them}\:\mathrm{to}\right. \\ $$$$\left.\mathrm{be}\:\mathrm{whole}\:\mathrm{numbers}\:\mathrm{of}\:\mathrm{years}\right). \\ $$ Terms…
Question Number 152753 by mathdanisur last updated on 01/Sep/21 $$\mathrm{Determine}\:\mathrm{all}\:\mathrm{triplets}\:\left(\mathrm{a};\mathrm{b};\mathrm{c}\right)\:\mathrm{of}\:\mathrm{positive} \\ $$$$\mathrm{integers}\:\mathrm{which}\:\mathrm{satisfy}: \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{b}}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{c}}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$ Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 01/Sep/21 $$\mathrm{Determine}\:\mathrm{all}\:\mathrm{triplets}\:\left(\mathrm{a};\mathrm{b};\mathrm{c}\right)\:\mathrm{of}\:\mathrm{positive} \\…
Question Number 21683 by Tinkutara last updated on 30/Sep/17 $$\mathrm{Suppose}\:{A}_{\mathrm{1}} {A}_{\mathrm{2}} …{A}_{\mathrm{20}} \:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{20}-\mathrm{sided}\:\mathrm{regular} \\ $$$$\mathrm{polygon}.\:\mathrm{How}\:\mathrm{many}\:\mathrm{non}-\mathrm{isosceles} \\ $$$$\left(\mathrm{scalene}\right)\:\mathrm{triangles}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{formed}\:\mathrm{whose} \\ $$$$\mathrm{vertices}\:\mathrm{are}\:\mathrm{among}\:\mathrm{the}\:\mathrm{vertices}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{polygon}\:\mathrm{but}\:\mathrm{whose}\:\mathrm{sides}\:\mathrm{are}\:\mathrm{not}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{sides}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{polygon}? \\ $$…
Question Number 152752 by EDWIN88 last updated on 01/Sep/21 $$\:{Given}\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}−\mathrm{2}}+\mathrm{2}}\:+\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{2}−\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}+\mathrm{2}}}\:=\mathrm{2} \\ $$$${then}\:\sqrt{\mathrm{198}{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{868}{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{229}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{200}{x}}\:=? \\ $$ Commented by liberty last updated on 01/Sep/21 x = 4.5897576…
Question Number 21682 by Tinkutara last updated on 30/Sep/17 $$\mathrm{Prove}\:\mathrm{that}\:\mathrm{the}\:\mathrm{ten}'\mathrm{s}\:\mathrm{digit}\:\mathrm{of}\:\mathrm{any}\:\mathrm{power} \\ $$$$\mathrm{of}\:\mathrm{3}\:\mathrm{is}\:\mathrm{even}.\:\left[\mathrm{e}.\mathrm{g}.\:\mathrm{the}\:\mathrm{ten}'\mathrm{s}\:\mathrm{digit}\:\mathrm{of}\:\mathrm{3}^{\mathrm{6}} \:=\right. \\ $$$$\left.\mathrm{729}\:\mathrm{is}\:\mathrm{2}\right]. \\ $$ Answered by alex041103 last updated on 30/Sep/17 $${We}\:{are}\:{going}\:{to}\:{prove}\:{this}\:{by}\:{induction}.…
Question Number 21680 by Arnab Maiti last updated on 30/Sep/17 $$\int\sqrt{\mathrm{sec}\theta}\:\mathrm{d}\theta \\ $$ Answered by alex041103 last updated on 30/Sep/17 $${First}: \\ $$$$\sqrt{{sec}\theta}=\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{cos}\theta}}=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{cos}\theta}} \\ $$$${We}\:{know}\:{that}\:{cos}\left(\mathrm{2}\theta\right)=\mathrm{1}−\mathrm{2}{sin}^{\mathrm{2}}…
Question Number 21679 by Arnab Maiti last updated on 30/Sep/17 $$\int\frac{\mathrm{sec}\theta\:\mathrm{d}\theta}{\mathrm{1}−\mathrm{sec}\theta} \\ $$ Answered by alex041103 last updated on 30/Sep/17 $${First}\:{we}\:{make}\:{the}\:{following}\:{transformations}: \\ $$$$\int\frac{\mathrm{sec}\theta\:\mathrm{d}\theta}{\mathrm{1}−\mathrm{sec}\theta}=\int\frac{\frac{\mathrm{1}}{{cos}\theta}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{cos}\theta}}{d}\theta= \\ $$$$=\int\frac{\frac{\mathrm{1}}{{cos}\theta}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{cos}\theta}}\:\frac{{cos}\theta}{{cos}\theta}{d}\theta=…