# Can-you-evalate-A-a-b-f-x-dx-for-example-0-5-2-5-x-2-dx-

Question Number 2629 by Filup last updated on 24/Nov/15
$$\mathrm{Can}\:\mathrm{you}\:\mathrm{evalate}: \\$$$${A}=\int_{{a}} ^{\:{b}} \lfloor{f}\left({x}\right)\rfloor{dx} \\$$$$\\$$$${for}\:{example}: \\$$$$\int_{\mathrm{0}.\mathrm{5}} ^{\:\mathrm{2}.\mathrm{5}} \lfloor{x}^{\mathrm{2}} \rfloor{dx} \\$$
Commented by Filup last updated on 24/Nov/15
$$\int_{\mathrm{0}.\mathrm{5}} ^{\:\mathrm{2}.\mathrm{5}} \lfloor{x}^{\mathrm{2}} \rfloor{dx}=\int_{\mathrm{0}.\mathrm{5}} ^{\:\mathrm{1}} \lfloor{x}^{\mathrm{2}} \rfloor{dx}+\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \lfloor{x}^{\mathrm{2}} \rfloor{dx}+\int_{\mathrm{2}} ^{\:\mathrm{2}.\mathrm{5}} \lfloor{x}^{\mathrm{2}} \rfloor{dx} \\$$$$? \\$$
Commented by Yozzi last updated on 24/Nov/15
$${Yes},\:{but}\:{there}\:{is}\:{a}\:{way}\:{to}\:{solve} \\$$$${integrals}\:{like}\:{that}\:{using}\:{the}\: \\$$$${geometric}\:{interpretation}\:{of}\:{the} \\$$$${integral}. \\$$
Answered by Yozzi last updated on 24/Nov/15
$${For}\:\mathrm{0}\leqslant{x}<\mathrm{1}\Rightarrow\lfloor{x}^{\mathrm{2}} \rfloor=\mathrm{0} \\$$$${For}\:\mathrm{1}\leqslant{x}<\sqrt{\mathrm{2}}\Rightarrow\lfloor{x}^{\mathrm{2}} \rfloor=\mathrm{1} \\$$$${For}\:\sqrt{\mathrm{2}}\leqslant{x}<\sqrt{\mathrm{3}}\Rightarrow\mathrm{2}\leqslant{x}^{\mathrm{2}} <\mathrm{3}\Rightarrow\lfloor{x}^{\mathrm{2}} \rfloor=\mathrm{2} \\$$$${For}\:\sqrt{\mathrm{3}}\leqslant{x}<\mathrm{2}\Rightarrow\mathrm{3}\leqslant{x}^{\mathrm{2}} <\mathrm{4}\Rightarrow\lfloor{x}^{\mathrm{2}} \rfloor=\mathrm{3} \\$$$${For}\:\mathrm{2}\leqslant{x}<\mathrm{2}.\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{4}\leqslant{x}^{\mathrm{2}} <\mathrm{4}.\mathrm{41}\Rightarrow\lfloor{x}^{\mathrm{2}} \rfloor=\mathrm{4} \\$$$${For}\:\mathrm{2}.\mathrm{1}\leqslant{x}<\mathrm{2}.\mathrm{23}\Rightarrow\mathrm{4}.\mathrm{41}\leqslant{x}^{\mathrm{2}} <\mathrm{4}.\mathrm{9729}\Rightarrow\lfloor{x}^{\mathrm{2}} \rfloor=\mathrm{4} \\$$$${For}\:\mathrm{2}.\mathrm{23}\leqslant{x}<\sqrt{\mathrm{5}}\Rightarrow\lfloor{x}^{\mathrm{2}} \rfloor=\mathrm{4} \\$$$${For}\:\sqrt{\mathrm{5}}\leqslant{x}<\sqrt{\mathrm{6}}\Rightarrow\lfloor{x}^{\mathrm{2}} \rfloor=\mathrm{5} \\$$$${For}\:\sqrt{\mathrm{6}}\leqslant{x}\leqslant\mathrm{2}.\mathrm{5}\Rightarrow\lfloor{x}^{\mathrm{2}} \rfloor=\mathrm{6} \\$$$$\\$$$$\therefore\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}.\mathrm{5}} \lfloor{x}^{\mathrm{2}} \rfloor{dx}=\left(\mathrm{1}−\mathrm{0}\right)×\mathrm{0}+\left(\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right)×\mathrm{1}+\mathrm{2}\left(\sqrt{\mathrm{3}}−\sqrt{\mathrm{2}}\right) \\$$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\mathrm{3}\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)+\mathrm{4}\left(\mathrm{2}.\mathrm{1}−\mathrm{2}\right) \\$$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\mathrm{4}\left(\mathrm{2}.\mathrm{23}−\mathrm{2}.\mathrm{1}\right)+\mathrm{4}\left(\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{2}.\mathrm{23}\right) \\$$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\mathrm{5}\left(\sqrt{\mathrm{6}}−\sqrt{\mathrm{5}}\right)+\mathrm{6}\left(\mathrm{2}.\mathrm{5}−\sqrt{\mathrm{6}}\right) \\$$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}.\mathrm{5}} \lfloor{x}^{\mathrm{2}} \rfloor{dx}=\left(\mathrm{1}\right)\left(\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{2}\left(\sqrt{\mathrm{3}}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{3}\left(\sqrt{\mathrm{4}}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)+\mathrm{4}\left(\sqrt{\mathrm{5}}−\sqrt{\mathrm{4}}\right)+\mathrm{5}\left(\sqrt{\mathrm{6}}−\sqrt{\mathrm{5}}\right)+\mathrm{6}\left(\mathrm{2}.\mathrm{5}−\sqrt{\mathrm{6}}\right) \\$$$${I}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}.\mathrm{5}} \lfloor{x}^{\mathrm{2}} \rfloor{dx}=\underset{{r}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{5}} {\sum}}{r}\left(\sqrt{{r}+\mathrm{1}}−\sqrt{{r}}\right)+\mathrm{6}\left(\mathrm{2}.\mathrm{5}−\sqrt{\mathrm{6}}\right) \\$$$${I}=\int_{\mathrm{0}.\mathrm{5}} ^{\mathrm{2}.\mathrm{5}} \lfloor{x}^{\mathrm{2}} \rfloor{dx}\:{as}\:{well}\:{since}\: \\$$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}.\mathrm{5}} \lfloor{x}^{\mathrm{2}} \rfloor{dx}=\int_{\mathrm{0}.\mathrm{5}} ^{\mathrm{2}.\mathrm{5}} \lfloor{x}^{\mathrm{2}} \rfloor{dx}+\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{0}.\mathrm{5}} \lfloor{x}^{\mathrm{2}} \rfloor{dx} \\$$$${and}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{0}.\mathrm{5}} \lfloor{x}^{\mathrm{2}} \rfloor{dx}=\mathrm{0}\:\:\:\left(\because\:{for}\:\mathrm{0}\leqslant{x}<\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{0}\leqslant{x}^{\mathrm{2}} <\mathrm{1}\Rightarrow\lfloor{x}^{\mathrm{2}} \rfloor=\mathrm{0}\right). \\$$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{{n}}{\mathrm{2}}} \lfloor{x}^{\mathrm{2}} \rfloor{dx}=\underset{{r}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{r}\left(\sqrt{{r}+\mathrm{1}}−\sqrt{{r}}\right)+\left({n}+\mathrm{1}\right)\left(\frac{{n}}{\mathrm{2}}−\sqrt{{n}+\mathrm{1}}\right)\:???\:\left({n}\geqslant\mathrm{3},{n}\:{odd}\right) \\$$
Commented by Filup last updated on 24/Nov/15
$$\mathrm{Wow}\:\mathrm{thats}\:\mathrm{amazing}!\:\mathrm{So}\:\mathrm{crazy}! \\$$