d-dx-ln-x-2-1-x-2-1-

Question Number 68703 by Maclaurin Stickker last updated on 15/Sep/19

$$\frac{{d}}{{dx}}\left({ln}\left(\sqrt{\frac{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}\right)\right)=? \\ $$

Commented by MJS last updated on 15/Sep/19

$$\frac{{d}}{{dx}}\left[\mathrm{ln}\:\sqrt{\frac{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}\right]=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}×\frac{{d}}{{dx}}\left[\mathrm{ln}\:\frac{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right]= \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}×\frac{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}×\frac{\mathrm{2}{x}\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)−\mathrm{2}{x}\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}{\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }= \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}{x}}{{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{1}} \\ $$

Commented by Prithwish sen last updated on 15/Sep/19

$$=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}\:}\:.\:\frac{\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}.\frac{\mathrm{2x}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\:−\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}.\frac{\mathrm{2x}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}}{\left(\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\sqrt{\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\:.\frac{\frac{\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\:−\frac{\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}} \\ $$$$=\sqrt{\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}.\frac{\mathrm{2x}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}.\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{2x}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}\:=\:\frac{\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{x}}}{\left(\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{4}} −\mathrm{1}\right)}\:\:\boldsymbol{\mathrm{pleasecheck}}. \\ $$$$ \\ $$

Commented by Maclaurin Stickker last updated on 15/Sep/19

$$\boldsymbol{{Your}}\:\boldsymbol{{answer}}\:\boldsymbol{{is}}\:\boldsymbol{{right}}! \\ $$

Commented by Prithwish sen last updated on 15/Sep/19

$$\mathrm{Thanks}\:\mathrm{Sir}. \\ $$

Commented by mathmax by abdo last updated on 15/Sep/19

$${let}\:{f}\left({x}\right)={ln}\left(\sqrt{\frac{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}\right)\:\Rightarrow{f}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left\{{ln}\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)−{ln}\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\right\}\:\Rightarrow \\ $$$${f}^{'} \left({x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left\{\frac{\mathrm{2}{x}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{2}{x}}{{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\right\}\:={x}\left\{\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right\} \\ $$$$={x}\left\{\frac{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{1}}\right\}\:=\frac{\mathrm{2}{x}}{{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{1}} \\ $$

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