# Determine-the-following-sum-in-terms-of-n-S-n-i-1-n-i-2-q-i-1-where-0-lt-q-lt-1-For-the-distribution-of-the-discrete-random-variable-X-given-as-

Question Number 683 by 112358 last updated on 24/Feb/15
$${Determine}\:{the}\:{following}\:{sum}\:{in} \\$$$${terms}\:{of}\:{n}. \\$$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{S}_{{n}} =\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{i}^{\mathrm{2}} {q}^{{i}−\mathrm{1}} \\$$$${where}\:\mathrm{0}\:<\:{q}\:<\:\mathrm{1}. \\$$$${For}\:{the}\:{distribution}\:{of}\:{the}\:{discrete} \\$$$${random}\:{variable}\:{X}\:{given}\:{as} \\$$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{X}\backsim{Geo}\left({p}\right) \\$$$${prove}\:{that}\: \\$$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{Var}\left({X}\right)=\frac{{q}}{{p}^{\mathrm{2}} } \\$$$${where}\:{q}=\mathrm{1}−{p},\:{if}\: \\$$$${Var}\left({X}\right)=\Sigma\left\{{x}^{\mathrm{2}} {P}\left({X}={x}\right)\right\}−{E}^{\mathrm{2}} \left({X}\right) \\$$$${for}\:{a}\:{given}\:{discrete}\:{random}\: \\$$$${variable}\:{X}. \\$$
Commented by prakash jain last updated on 24/Feb/15
$${S}_{\mathrm{n}} =\mathrm{1}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}^{\mathrm{2}} {q}+\mathrm{3}^{\mathrm{2}} {q}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}^{\mathrm{2}} {q}^{\mathrm{3}} +…\:+{n}^{\mathrm{2}} {q}^{{n}−\mathrm{1}} \:\:\:\:\:\:\:\:….\left(\mathrm{i}\right) \\$$$${qS}_{\mathrm{n}} =\:\:\:\:\:\mathrm{1}^{\mathrm{2}} {q}\:\:\:+\mathrm{2}^{\mathrm{2}} {q}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}^{\mathrm{2}} {q}^{\mathrm{2}} +…+\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} {q}^{{n}−\mathrm{1}} +{n}^{\mathrm{2}} {q}^{{n}} \:\:\:\:…\left(\mathrm{ii}\right) \\$$$$\mathrm{Subtracting}\:\left(\mathrm{ii}\right)\:\mathrm{from}\:\left(\mathrm{i}\right) \\$$$$\left(\mathrm{1}−{q}\right){S}_{{n}} =\mathrm{1}+\mathrm{3}{q}+\mathrm{5}{q}^{\mathrm{2}} +…..+\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\right){q}^{{n}−\mathrm{1}} −{n}^{\mathrm{2}} {q}^{{n}} \:\:\:\:…\left(\mathrm{iii}\right) \\$$$${q}\left(\mathrm{1}−{q}\right){S}_{{n}} =\:\:\:\:\:\:\:\:\:{q}+\mathrm{3}{q}^{\mathrm{2}} +…..+\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{3}\right){q}^{{n}−\mathrm{1}} +\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\right){q}^{{n}} −{n}^{\mathrm{2}} {q}^{{n}+\mathrm{1}} …\left(\mathrm{iv}\right) \\$$$$\mathrm{Subtracting}\:\left(\mathrm{iv}\right)\:\mathrm{from}\:\left(\mathrm{iii}\right) \\$$$$\left(\mathrm{1}−{q}\right)^{\mathrm{2}} {S}_{{n}} =\mathrm{1}+\mathrm{2}{q}+\mathrm{2}{q}^{\mathrm{2}} +..+\mathrm{2}{q}^{{n}−\mathrm{1}} −\left({n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right){q}^{{n}} +{n}^{\mathrm{2}} {q}^{{n}+\mathrm{1}} \\$$$$\left(\mathrm{1}−{q}\right)^{\mathrm{2}} {S}_{{n}} =\mathrm{1}+\mathrm{2}\:\:\frac{{q}−{q}^{{n}} }{\mathrm{1}−{q}}−\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} {q}^{{n}} +{n}^{\mathrm{2}} {q}^{{n}+\mathrm{1}} \\$$$${S}_{{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−{q}\right)^{\mathrm{2}} }\left[\mathrm{1}+\mathrm{2}\frac{{q}−{q}^{{n}} }{\mathrm{1}−{q}}−\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} {q}^{{n}} +{n}^{\mathrm{2}} {q}^{{n}+\mathrm{1}} \right] \\$$$$\mathrm{I}\:\mathrm{don}'\mathrm{t}\:\mathrm{think}\:\mathrm{you}\:\mathrm{can}\:\mathrm{calculate}\:{S}_{{n}} \:\mathrm{only}\:\mathrm{in}\:\mathrm{terms} \\$$$$\mathrm{of}\:{n}\:\left(\mathrm{you}\:\mathrm{will}\:\mathrm{also}\:\mathrm{need}\:{q}\right) \\$$
Commented by 112358 last updated on 24/Feb/15
$${Would}\:{it}\:{be}\:{safe}\:{to}\:{assume}\:{that}\:{q} \\$$$${is}\:{a}\:{constant}\:{such}\:{that}\:{q}\in\left(\mathrm{0},\mathrm{1}\right)? \\$$
Commented by prakash jain last updated on 24/Feb/15
$$\mathrm{For}\:\mathrm{a}\:\mathrm{give}\:\mathrm{distribution}\:\mathrm{as}\:\mathrm{mention}\:\mathrm{in}\:\mathrm{problem} \\$$$${q}=\mathrm{1}−{p}\:\:\mathrm{so}\:{q}\:\mathrm{is}\:\mathrm{independent}\:\mathrm{of}\:{i}\:\mathrm{and}\:{n}.\:\mathrm{So}\:\mathrm{it}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a} \\$$$$\mathrm{constant}\:\mathrm{for}\:\mathrm{the}\:\mathrm{summation}. \\$$
Answered by prakash jain last updated on 24/Feb/15
$$\mathrm{Expected}\:\mathrm{Value} \\$$$${E}\left({x}\right)=\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}{i}.\left(\mathrm{1}−{p}\right)^{{i}−\mathrm{1}} {p} \\$$$${E}=\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{p}+\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−{p}\right){p}+\mathrm{3}\left(\mathrm{1}−{p}\right)^{\mathrm{2}} {p}+… \\$$$$\left(\mathrm{1}−{p}\right){E}=\:\:\:\:\:+\left(\mathrm{1}−{p}\right){p}+\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−{p}\right)^{\mathrm{2}} {p}+… \\$$$${pE}\:={p}+\left(\mathrm{1}−{p}\right){p}+\left(\mathrm{1}−{p}\right)^{\mathrm{2}} {p}+.. \\$$$${pE}=\frac{{p}}{\mathrm{1}−\left(\mathrm{1}−{p}\right)}=\mathrm{1}\Rightarrow{E}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{{p}} \\$$$$\mathrm{Variance} \\$$$$\mathrm{Var}\left({x}\right)=\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}{i}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−{p}\right)^{{i}−\mathrm{1}} {p}−\left[{E}\left({x}\right)\right]^{\mathrm{2}} \:\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{i}\right) \\$$$${S}=\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}{i}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−{p}\right)^{{i}−\mathrm{1}} {p} \\$$$${S}={p}+\mathrm{2}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−{p}\right){p}+\mathrm{3}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−{p}\right)^{\mathrm{2}} {p}+.. \\$$$$\left(\mathrm{1}−{p}\right){S}=\left(\mathrm{1}−{p}\right){p}+\mathrm{2}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−{p}\right)^{\mathrm{2}} {p}+… \\$$$${S}\mathrm{ubtracting} \\$$$${pS}={p}+\mathrm{3}\left(\mathrm{1}−{p}\right){p}+\mathrm{5}\left(\mathrm{1}−{p}\right)^{\mathrm{2}} {p}+… \\$$$${S}=\mathrm{1}+\mathrm{3}\left(\mathrm{1}−{p}\right)+\mathrm{5}\left(\mathrm{1}−{p}\right)^{\mathrm{2}} +… \\$$$$\left(\mathrm{1}−{p}\right){S}=\left(\mathrm{1}−{p}\right)+\mathrm{3}\left(\mathrm{1}−{p}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{5}\left(\mathrm{1}−{p}\right)^{\mathrm{3}} +.. \\$$$${S}\mathrm{ubtracting} \\$$$${pS}=\mathrm{1}+\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−{p}\right)+\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−{p}\right)^{\mathrm{2}} +… \\$$$${pS}=\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−{p}\right)}{\mathrm{1}−\left(\mathrm{1}−{p}\right)}=\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}−\mathrm{2}{p}}{{p}}=\frac{\mathrm{2}}{{p}}−\mathrm{1} \\$$$${S}=\frac{\mathrm{2}}{{p}^{\mathrm{2}} }\:−\frac{\mathrm{1}}{{p}} \\$$$$\mathrm{Substituting}\:{S}\:\mathrm{in}\:\left(\mathrm{i}\right) \\$$$$\mathrm{Var}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{2}}{{p}^{\mathrm{2}} }\:−\frac{\mathrm{1}}{{p}}−\left[{E}\left({x}\right)\right]^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{2}}{{p}^{\mathrm{2}} }\:−\frac{\mathrm{1}}{{p}}\:−\frac{\mathrm{1}}{{p}^{\mathrm{2}} } \\$$$$=\frac{\mathrm{1}}{{p}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{{p}}=\frac{\mathrm{1}−{p}}{{p}^{\mathrm{2}} }=\frac{{q}}{{p}^{\mathrm{2}} } \\$$