# Find-all-solutions-x-to-the-equation-x-3-bx-2-cx-d-0-where-b-c-d-are-constants-from-C-

Question Number 3548 by Yozzii last updated on 15/Dec/15
$${Find}\:{all}\:{solutions}\:{x}\:{to}\:{the}\:{equation} \\$$$${x}^{\mathrm{3}} +{bx}^{\mathrm{2}} +{cx}+{d}=\mathrm{0}\:{where}\:{b},{c},{d}\:{are}\: \\$$$${constants}\:{from}\:\mathbb{C}.\: \\$$$$\\$$
Answered by RasheedSindhi last updated on 15/Dec/15
$${Let}\:{b}={b}_{\mathrm{1}} +{b}_{\mathrm{2}} {i} \\$$$$\:\:\:\:\:\:\:\:{c}={c}_{\mathrm{1}} +{c}_{\mathrm{2}} {i} \\$$$$\:\:\:\:\:\:\:\:{d}={d}_{\mathrm{1}} +{d}_{\mathrm{2}} {i} \\$$$${where}\:{b}_{\mathrm{1}} ,{b}_{\mathrm{2}} ,{c}_{\mathrm{1}} ,{c}_{\mathrm{2}} ,{d}_{\mathrm{1}} ,{d}_{\mathrm{2}} \:{are}\:{all}\:{reals} \\$$$${x}^{\mathrm{3}} +{b}_{\mathrm{1}} {x}^{\mathrm{2}} +{c}_{\mathrm{1}} {x}+{d}_{\mathrm{1}} =\mathrm{0}\:\wedge{b}_{\mathrm{2}} {x}^{\mathrm{2}} +{c}_{\mathrm{2}} {x}+{d}_{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\$$$$\\$$
Commented by prakash jain last updated on 15/Dec/15
$$\mathrm{By}\:\mathrm{substituting}: \\$$$$\left({x}^{\mathrm{3}} +{b}_{\mathrm{1}} {x}^{\mathrm{2}} +{c}_{\mathrm{1}} {x}+{d}_{\mathrm{1}} \right)+{i}\left({b}_{\mathrm{2}} {x}^{\mathrm{2}} +{c}_{\mathrm{2}} {x}+{d}_{\mathrm{2}} \right)=\mathrm{0} \\$$$$\mathrm{It}\:\mathrm{cannot}\:\mathrm{be}\:\mathrm{inferred}\:\mathrm{that}\: \\$$$$\left({b}_{\mathrm{2}} {x}^{\mathrm{2}} +{c}_{\mathrm{2}} {x}+{d}_{\mathrm{2}} \right)\:=\mathrm{0} \\$$$$\mathrm{unless}\:\mathrm{it}\:\mathrm{is}\:\mathrm{given}\:\mathrm{that}\:{x}\in\mathbb{R}. \\$$$$\mathrm{If}\:{x}\in\mathbb{C},\:\mathrm{then}\:\left({b}_{\mathrm{2}} {x}^{\mathrm{2}} +{c}_{\mathrm{2}} {x}+{d}_{\mathrm{2}} \right)={u}+{v}\sqrt{−\mathrm{1}} \\$$
Commented by RasheedSindhi last updated on 15/Dec/15
$$\mathcal{TH}\alpha{n}\Bbbk\mathcal{S}\:{for}\:{guidance}! \\$$$$\\$$
Answered by prakash jain last updated on 15/Dec/15
$${x}={y}−\frac{{b}}{\mathrm{3}} \\$$$$\left({y}−\frac{{b}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{3}} +{b}\left({y}−\frac{{b}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} +{c}\left({y}−\frac{{b}}{\mathrm{3}}\right)+{d}=\mathrm{0} \\$$$${y}^{\mathrm{3}} −{by}^{\mathrm{2}} +{y}\frac{{b}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}}−\frac{{b}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{27}}+{by}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{b}^{\mathrm{3}} \frac{{y}}{\mathrm{3}}+\frac{{b}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{9}}+{cy}−\frac{{bc}}{\mathrm{3}}+{d}=\mathrm{0} \\$$$${y}^{\mathrm{3}} +{y}\left({c}−\frac{{b}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}\right)+\left({d}−\frac{{bc}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{2}{b}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{27}}\right)=\mathrm{0} \\$$$${p}={c}−\frac{{b}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}},\:{q}={d}−\frac{{bc}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{2}{b}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{27}} \\$$$${y}^{\mathrm{3}} +{py}+{q}=\mathrm{0} \\$$$$\mathrm{subtitute}\:{y}={u}−{v} \\$$$$\left({u}−{v}\right)^{\mathrm{3}} +{p}\left({u}−{v}\right)+{q}=\mathrm{0} \\$$$$\left({q}−\left({v}^{\mathrm{3}} −{u}^{\mathrm{3}} \right)\right)+\left({u}−{v}\right)\left({p}−\mathrm{3}{uv}\right)=\mathrm{0} \\$$$${u}−{v}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{if}\:{q}={v}^{\mathrm{3}} −{u}^{\mathrm{3}} ,\:{p}=\mathrm{3}{uv} \\$$$${p}=\mathrm{3}{uv}\Rightarrow{v}=\frac{{p}}{\mathrm{3}{u}} \\$$$${q}={v}^{\mathrm{3}} −{u}^{\mathrm{3}} \Rightarrow{q}=\frac{{p}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{27}{u}^{\mathrm{3}} }−{u}^{\mathrm{3}} \:\:\:\:….\left({A}\right) \\$$$$\left({A}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{quadratic}\:\mathrm{in}\:{u}^{\mathrm{3}} \Rightarrow{u}\:{can}\:{be}\:{found} \\$$$${then}\:{we}\:{find}\:{v}. \\$$$${so}\:{we}\:{know}\:{u}−{v}\:{is}\:{solution}. \\$$$${once}\:{we}\:{know}\:{one}\:{solution}\:{of}\:{cubic}\:{then} \\$$$${other}\:\mathrm{2}\:{can}\:{be}\:{found}\:{after}\:{factorizing}. \\$$$$\mathrm{There}\:\mathrm{is}\:\mathrm{also}\:\mathrm{a}\:\mathrm{cubic}\:\mathrm{formula}\:\mathrm{which}\:\mathrm{is}\:\mathrm{derived} \\$$$$\mathrm{based}\:\mathrm{on}\:\mathrm{the}\:\mathrm{above}\:\mathrm{steps}.\:\mathrm{But}\:\mathrm{it}\:\mathrm{is}\:\mathrm{very}\:\mathrm{hard} \\$$$$\mathrm{even}\:\mathrm{to}\:\mathrm{type}.\:\mathrm{The}\:\mathrm{steps}\:\mathrm{are}\:\mathrm{easy}\:\mathrm{to}\:\mathrm{remember}. \\$$
Commented by Yozzii last updated on 15/Dec/15
$${Thanks}\:{a}\:{lot}.\:{I}'{m}\:{wondering}\:{how} \\$$$${one}\:{creates}\:{such}\:{methods}\:{because} \\$$$${I}'{m}\:{interested}\:{now}\:{in}\:{solving}\: \\$$$${a}\:{good}\:{few}\:{of}\:{these}\:{polynomials}, \\$$$${perhaps}\:{up}\:{to}\:{degree}\:\mathrm{10}\:\left({being}\:\right. \\$$$$\left.{terribly}\:{ambitious}\right). \\$$$$\\$$
Commented by prakash jain last updated on 15/Dec/15
$$\mathrm{Abel}\:\mathrm{Ruffini}\:\mathrm{Theorem}:\:\mathrm{There}\:\mathrm{is}\:\mathrm{no}\:\mathrm{general} \\$$$$\mathrm{algebraic}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{for}\:\mathrm{polynomial}\:\mathrm{of}\:\mathrm{degree} \\$$$$\mathrm{5}\:\mathrm{or}\:\mathrm{higher}\:\mathrm{with}\:\mathrm{arbitrary}\:\mathrm{coefficients}. \\$$$$\mathrm{So}\:\mathrm{you}\:\mathrm{cannot}\:\mathrm{find}\:\mathrm{a}\:\mathrm{formula}. \\$$$$\mathrm{Formula}\:\mathrm{upto}\:\mathrm{degree}\:\mathrm{4}\:\mathrm{are}\:\mathrm{already}\:\mathrm{available}. \\$$
Commented by Yozzii last updated on 15/Dec/15
$${I}\:{see}.\:{It}'{d}\:{be}\:{good}\:{to}\:{learn}\:{the}\:{proofs} \\$$$${for}\:{degree}\:\mathrm{4}. \\$$
Commented by Yozzii last updated on 15/Dec/15
$${After}\:{degree}\:\mathrm{4}\:{we}'{d}\:{rely}\:{on}\: \\$$$${numerical}\:{methods}\:{only}\:{to}\:{solve} \\$$$${polynomials}? \\$$
Commented by prakash jain last updated on 15/Dec/15
$$\mathrm{For}\:\mathrm{a}\:\mathrm{general}\:\mathrm{equation}\:\mathrm{with}\:\mathrm{arbitrary}\:\mathrm{coefficients} \\$$$$\mathrm{only}\:\mathrm{numeric}\:\mathrm{solution}.\:\mathrm{However}\:\mathrm{there}\:\mathrm{are} \\$$$$\mathrm{equation}\:\mathrm{of}\:\mathrm{degree}\:\mathrm{5}\:\mathrm{which}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{solved} \\$$$$\mathrm{if}\:\mathrm{coefficients}\:\mathrm{meet}\:\mathrm{certain}\:\mathrm{criteria}. \\$$$$\mathrm{So}\:\mathrm{for}\:\mathrm{your}\:\mathrm{further}\:\mathrm{study}\:\mathrm{you}\:\mathrm{may}\:\mathrm{want}\:\mathrm{to} \\$$$$\mathrm{work}\:\mathrm{on}\:\mathrm{solvable}\:\mathrm{equation}\:\mathrm{and}\:\mathrm{extending} \\$$$$\mathrm{the}\:\mathrm{result}\:\mathrm{wherever}\:\mathrm{you}\:\mathrm{can}. \\$$