# fnd-dx-x-2-3-x-2-

Question Number 65920 by mathmax by abdo last updated on 05/Aug/19
$${fnd}\:\int\:\frac{{dx}}{{x}+\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}+{x}^{\mathrm{2}} }} \\$$
Commented by mathmax by abdo last updated on 12/Aug/19
$${let}\:{I}\:=\int\:\:\frac{{dx}}{{x}+\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}+{x}^{\mathrm{2}} }}\:\:{cha}\mathrm{7}{gement}\:\:{x}=\sqrt{\mathrm{3}}{sh}\left({t}\right){give} \\$$$${I}\:=\int\:\:\:\:\frac{\sqrt{\mathrm{3}}{ch}\left({t}\right)}{\:\sqrt{\mathrm{3}}{sh}\left({t}\right)+\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}{ch}\left({t}\right)}{dt}\:=\int\:\:\frac{\sqrt{\mathrm{3}}\frac{{e}^{{t}} \:+{e}^{−{t}} }{\mathrm{2}}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}\frac{{e}^{{t}} −{e}^{−{t}} }{\mathrm{2}}+\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\frac{{e}^{{t}} \:+{e}^{−{t}} }{\mathrm{2}}}{dt} \\$$$$=\int\:\:\:\frac{\sqrt{\mathrm{3}}\left({e}^{{t}} \:+{e}^{−{t}} \right)}{\:\sqrt{\mathrm{3}}\left({e}^{{t}} −{e}^{−{t}} \right)+\mathrm{4}−\sqrt{\mathrm{3}}\left({e}^{{t}} \:+{e}^{−{t}} \right)}{dt} \\$$$$=_{{e}^{{t}} ={u}} \:\:\:\:\int\:\:\frac{\sqrt{\mathrm{3}}\left({u}+{u}^{−\mathrm{1}} \right)}{\:\sqrt{\mathrm{3}}\left({u}−{u}^{−\mathrm{1}} \right)+\mathrm{4}−\sqrt{\mathrm{3}}\left({u}+{u}^{−\mathrm{1}} \right)}\frac{{du}}{{u}} \\$$$$=\int\:\frac{\sqrt{\mathrm{3}}\left({u}+{u}^{−\mathrm{1}} \right)}{\:\sqrt{\mathrm{3}}{u}^{\mathrm{2}} −\sqrt{\mathrm{3}}\:+\mathrm{4}{u}\:−\sqrt{\mathrm{3}}{u}^{\mathrm{2}} −\sqrt{\mathrm{3}}}\:{du}\:=\int\:\:\frac{\sqrt{\mathrm{3}}\left({u}+{u}^{−\mathrm{1}} \right)}{\mathrm{4}{u}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}{du} \\$$$$=\int\:\:\frac{\sqrt{\mathrm{3}}{u}^{\mathrm{2}} \:+\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}{u}}{du}\:=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}}\:\int\:\:\frac{{u}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}{{u}^{\mathrm{2}} −\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}{du} \\$$$$=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}}\int\:\:\frac{{u}^{\mathrm{2}} −\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}+\mathrm{1}−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}{{u}^{\mathrm{2}} −\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}{du}\:=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}}{u}\:+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{8}}\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)\:\int\:\:\:\frac{{du}}{{u}^{\mathrm{2}} −\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}} \\$$$$=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}}{u}\:+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{8}}\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)\:\int\:\:\:\left(\frac{\mathrm{1}}{{u}−\sqrt{\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}}\:−\frac{\mathrm{1}}{{u}+\sqrt{\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}}\right){du} \\$$$$=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}}{u}\:+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{8}}\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right){ln}\mid\frac{{u}−\sqrt{\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}}{{u}+\sqrt{\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}}\mid\:+{c}\:{we}\:{have} \\$$$${u}={e}^{{t}} \:\:{and}\:{t}={argsh}\left(\frac{{x}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)={ln}\left(\frac{{x}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\:+\sqrt{\mathrm{1}+\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}}}\right)\:\Rightarrow{u}=\frac{{x}+\sqrt{\mathrm{3}+{x}^{\mathrm{2}} }}{\:\sqrt{\mathrm{3}}} \\$$$$\Rightarrow{I}\:=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}\left({x}+\sqrt{\mathrm{3}+{x}^{\mathrm{2}} }\right)}{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}}\:+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{8}}\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right){ln}\mid\frac{\frac{{x}+\sqrt{\mathrm{3}+{x}^{\mathrm{2}} }}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}−\sqrt{\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}}{\frac{{x}+\sqrt{\mathrm{3}+{x}^{\mathrm{2}} }}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\:+\sqrt{\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}}\mid\:+{C} \\$$
Answered by MJS last updated on 07/Aug/19
$$\int\frac{{dx}}{{x}+\mathrm{2}−\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}}}=\mathrm{2}\int\frac{{dx}}{\mathrm{4}{x}+\mathrm{1}}+\int\frac{{x}}{\mathrm{4}{x}+\mathrm{1}}{dx}+\mathrm{3}\int\frac{\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}}}{\mathrm{4}{x}+\mathrm{1}}{dx} \\$$$$\mathrm{2}\int\frac{{dx}}{\mathrm{4}{x}+\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{4}{x}+\mathrm{1}\right) \\$$$$\int\frac{{x}}{\mathrm{4}{x}+\mathrm{1}}{dx}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int{dx}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int\frac{{dx}}{\mathrm{4}{x}+\mathrm{1}}=\frac{{x}}{\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{4}{x}+\mathrm{1}\right) \\$$$$\mathrm{3}\int\frac{\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}}}{\mathrm{4}{x}+\mathrm{1}}{dx}= \\$$$$\:\:\:\:\:\left[{t}=\mathrm{arctan}\:\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}{x}\right)\:\rightarrow\:{dx}=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\right){dt}\right] \\$$$$=\mathrm{9}\int\frac{{dt}}{\left(\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{sin}\:{t}\:+\mathrm{cos}\:{t}\right)\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:{t}}= \\$$$$\:\:\:\:\:\left[{u}=\mathrm{tan}\:\frac{{t}}{\mathrm{2}}\:\rightarrow\:{dt}=\mathrm{2cos}^{\mathrm{2}} \:\frac{{t}}{\mathrm{2}}\:{du}\right] \\$$$$=−\mathrm{18}\int\frac{\left({u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\left({u}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left({u}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left({u}−\mathrm{7}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)\left({u}+\mathrm{7}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)}{du}= \\$$$$=\frac{\mathrm{3}\left(\mathrm{1}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)}{\mathrm{16}}\int\frac{{du}}{{u}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}}\int\frac{{u}}{\left({u}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{du}−\frac{\mathrm{3}\left(\mathrm{1}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)}{\mathrm{16}}\int\frac{{du}}{{u}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}}\int\frac{{u}}{\left({u}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{du}−\frac{\mathrm{21}}{\mathrm{16}}\int\frac{{du}}{{u}−\mathrm{7}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}}+\frac{\mathrm{21}}{\mathrm{16}}\int\frac{{du}}{{u}+\mathrm{7}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}}= \\$$$$\mathrm{now}\:\mathrm{it}'\mathrm{s}\:\mathrm{easy}… \\$$$$=\frac{\mathrm{21}}{\mathrm{16}}\mathrm{ln}\:\frac{{u}+\mathrm{7}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}}{{u}−\mathrm{7}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}}\:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16}}\mathrm{ln}\:\frac{{u}−\mathrm{1}}{{u}+\mathrm{1}}\:−\frac{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}}= \\$$$$\:\:\:\:\:\left[{u}=\mathrm{tan}\:\frac{{t}}{\mathrm{2}}\:=\frac{\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}}−\sqrt{\mathrm{3}}}{{x}}\right] \\$$$$=\frac{\mathrm{21}}{\mathrm{16}}\mathrm{ln}\:\mid\frac{{x}−\mathrm{12}+\mathrm{7}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}}}{\mathrm{4}{x}+\mathrm{1}}\mid\:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16}}\mathrm{ln}\:\mid{x}−\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}}\mid\:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}} \\$$$$\\$$$$\Rightarrow \\$$$$\int\frac{{dx}}{{x}+\mathrm{2}−\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}}}=\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{16}}\mathrm{ln}\:\mid\mathrm{4}{x}+\mathrm{1}\mid\:+\frac{\mathrm{21}}{\mathrm{16}}\mathrm{ln}\:\mid\frac{{x}−\mathrm{12}+\mathrm{7}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}}}{\mathrm{4}{x}+\mathrm{1}}\mid\:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16}}\mathrm{ln}\:\mid{x}−\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}}\mid\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left({x}+\mathrm{3}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}}\right)\:+{C} \\$$$$…\mathrm{I}\:\mathrm{hope}\:\mathrm{I}\:\mathrm{made}\:\mathrm{no}\:\mathrm{typos}… \\$$
Commented by mathmax by abdo last updated on 07/Aug/19
$${thank}\:{you}\:{sir}\:{mjs}\:{for}\:{this}\:{hard}\:{word}\:\:{but}\:{you}\:{can}\:{use}\:{the} \\$$$${changement}\:{x}\:=\sqrt{\mathrm{3}}{sh}\left({t}\right)…{its}\:{eazy}\:{in}\:{this}\:{case}… \\$$
Commented by MJS last updated on 07/Aug/19
$$\mathrm{true}… \\$$$$\mathrm{but}\:\mathrm{it}\:\mathrm{was}\:\mathrm{great}\:\mathrm{fun}\:\mathrm{to}\:\mathrm{solve}\:\mathrm{it}\:\mathrm{like}\:\mathrm{this}… \\$$
Commented by MJS last updated on 07/Aug/19
$$\mathrm{I}\:\mathrm{then}\:\mathrm{get} \\$$$$\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{8}}\mathrm{ln}\:\mid\mathrm{2}{x}−\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}}\mid\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{arcsinh}\:\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}{x}\right)\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left({x}+\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}}\right)+{C} \\$$