Question Number 68885 by aliesam last updated on 16/Sep/19
$${if}\: \\ $$$${f}\left({x}\right)=\frac{\mid{x}\mid}{{x}} \\ $$$${g}\left({x}\right)={x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$$${find}\: \\ $$$$ \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}} {{lim}}\:\:{f}\left({g}\left({x}\right)\right) \\ $$
Commented by kaivan.ahmadi last updated on 16/Sep/19
$${f}\left({g}\left({x}\right)\right)={f}\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)=\frac{\mid{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\mid}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} \\ $$$${lim}_{{x}\rightarrow\mathrm{1}^{+} } \frac{\mid{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\mid}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}={lim}_{{x}\rightarrow\mathrm{1}^{+} } \frac{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}=\mathrm{1} \\ $$$${lim}_{{x}\rightarrow\mathrm{1}^{−} } \frac{\mid{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\mid}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}={lim}_{{x}\rightarrow\mathrm{1}^{−} } \frac{−\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}=−\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow{lim}_{{x}\rightarrow\mathrm{1}} \:{f}\left({g}\left({x}\right)\right)\:{is}\:{not}\:{exist}. \\ $$
Commented by aliesam last updated on 16/Sep/19
$${if} \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow{c}} {{lim}}\:{g}\left({x}\right) \\ $$$${then} \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow{c}} {{lim}}\:{f}\left({g}\left({x}\right)\right) \\ $$$$={f}\left(\underset{{x}\rightarrow{c}} {{lim}}\:{g}\left({x}\right)\right) \\ $$$$={f}\left({b}\right) \\ $$