$${let}\:\:{A}_{{n}} =\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\:\:\frac{{cos}\left(\mathrm{2}^{{n}} {x}\right)}{\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }{dx} \\$$$$\left.\mathrm{1}\right)\:{calculate}\:{A}_{{n}} \:{interms}\:{of}\:{n} \\$$$$\left.\mathrm{2}\right){find}\:{nsture}\:{of}\:{the}\:{serie}\:\Sigma{A}_{{n}} \:\:\:\:{and}\:\Sigma{n}^{{n}} \:{A}_{{n}} \\$$
$$\left.\mathrm{2}\right)\:\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:{A}_{{n}} \:=\frac{\pi}{\mathrm{6}}\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{2}^{{n}} \:{e}^{−\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{2}^{{n}} } \:\:+\frac{\pi\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{18}}\:\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:{e}^{−\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{2}^{{n}} } \\$$$${those}\:{series}\:\:{converges}\:\:\Rightarrow\Sigma\:{A}_{{n}} \:{converges} \\$$$${we}\:{can}\:{verify}\:{that}\:{lim}_{{n}\rightarrow+\infty} {n}^{{n}} \:{A}_{{n}} \:\neq\mathrm{0}\:\Rightarrow\Sigma\:{A}_{{n}} {diverges} \\$$
$$\left.\mathrm{1}\right)\:{we}\:{have}\:{A}_{{n}} =\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\:\frac{{cos}\left(\mathrm{2}^{{n}} {x}\right)}{\left({x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }{dx}\:\Rightarrow{A}_{{n}} ={Re}\left(\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{{e}^{{i}\mathrm{2}^{{n}} {x}} }{\left({x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }{dx}\right) \\$$$${let}\:\varphi\left({z}\right)\:=\frac{{e}^{{i}\mathrm{2}^{{n}} {z}} }{\left({z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }\:\:{poles}\:{of}\:\varphi? \\$$$$\varphi\left({z}\right)\:=\frac{{e}^{{i}\mathrm{2}^{{n}} {z}} }{\left({z}−{i}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} \left({z}+{i}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} }\:\:{the}\:{poles}\:{of}\:\varphi\:{are}\:\overset{−} {+}{i}\sqrt{\mathrm{3}}\left({doubles}\right) \\$$$${residus}\:{theorem}\:{give}\:\int_{−\infty} ^{+\infty} \varphi\left({z}\right){dz}\:=\mathrm{2}{i}\pi{Res}\left(\varphi,{i}\sqrt{\mathrm{3}}\right) \\$$$${Res}\left(\varphi,{i}\sqrt{\mathrm{3}}\right)\:={lim}_{{z}\rightarrow{i}\sqrt{\mathrm{3}}} \:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}−\mathrm{1}\right)!}\left\{\left({z}−{i}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} \varphi\left({z}\right)\right\}^{\left(\mathrm{1}\right)} \\$$$$={lim}_{{z}\rightarrow{i}\sqrt{\mathrm{3}}} \:\:\:\:\left\{\frac{{e}^{{i}\mathrm{2}^{{n}} {z}} }{\left({z}+{i}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} }\right\}^{\left(\mathrm{1}\right)} ={lim}_{{z}\rightarrow{i}\sqrt{\mathrm{3}}} \:\:\:\frac{{i}\mathrm{2}^{{n}} {e}^{{i}\mathrm{2}^{{n}} {z}} \left({z}+{i}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left({z}+{i}\sqrt{\mathrm{3}}\right){e}^{{i}\mathrm{2}^{{n}} {z}} }{\left({z}+{i}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{4}} } \\$$$$={lim}_{{z}\rightarrow{i}\sqrt{\mathrm{3}}} \:\:\:\frac{{i}\mathrm{2}^{{n}} {e}^{{i}\mathrm{2}^{{n}} {z}} \left({z}+{i}\sqrt{\mathrm{3}}\right)−\mathrm{2}{e}^{{i}\mathrm{2}^{{n}} {z}} }{\left({z}+{i}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{3}} } \\$$$$=\frac{{i}\mathrm{2}^{{n}} \:{e}^{{i}\mathrm{2}^{{n}} \left({i}\sqrt{\mathrm{3}}\right)} \left(\mathrm{2}{i}\sqrt{\mathrm{3}}\right)−\mathrm{2}{e}^{{i}\mathrm{2}^{{n}} \left({i}\sqrt{\mathrm{3}}\right)} }{\left(\mathrm{2}{i}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{3}} }\:\:=\frac{−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{2}^{{n}} \:{e}^{−\mathrm{2}^{{n}} \sqrt{\mathrm{3}}} −\mathrm{2}\:{e}^{−\mathrm{2}^{{n}} \sqrt{\mathrm{3}}} }{\left(−\mathrm{8}{i}\right)\left(\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}\right)} \\$$$$=\frac{\left(\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{2}^{{n}} \:+\mathrm{2}\right){e}^{−\mathrm{2}^{{n}} \sqrt{\mathrm{3}}} }{\mathrm{24}{i}\sqrt{\mathrm{3}}}\:\Rightarrow\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\varphi\left({z}\right){dz}\:=\mathrm{2}{i}\pi\:\frac{\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{2}^{{n}} \:+\mathrm{1}\right){e}^{−\mathrm{2}^{{n}} \sqrt{\mathrm{3}}} }{\mathrm{12}{i}\sqrt{\mathrm{3}}} \\$$$$=\frac{\pi}{\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{3}}}\left(\:\:\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{2}^{{n}} \:+\mathrm{1}\right){e}^{−\mathrm{2}^{{n}} \sqrt{\mathrm{3}}} \:\:\:\Rightarrow\:{A}_{{n}} =\frac{\pi}{\mathrm{18}}\left\{\mathrm{3}.\:\mathrm{2}^{{n}} \:+\sqrt{\mathrm{3}}\right){e}^{−\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{2}^{{n}} } \\$$