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Let-cos-1-x-cos-1-2x-cos-1-3x-pi-If-x-satisfies-the-cubic-ax-3-bx-2-cx-1-0-then-a-b-c-has-the-value-equal-to-

Tinku Tara
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Question Number 131298 by liberty last updated on 03/Feb/21
Let cos^(−1) (x)+cos^(−1) (2x)+cos^(−1) (3x)=π .If x satisfies the cubic ax^3 +bx^2 +cx−1=0 then a+b+c has the value equal to
$$\mathrm{Let}\:\mathrm{cos}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{cos}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{2x}\right)+\mathrm{cos}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{3x}\right)=\pi \\ $$$$.\mathrm{If}\:\mathrm{x}\:\mathrm{satisfies}\:\mathrm{the}\:\mathrm{cubic}\:\mathrm{ax}^{\mathrm{3}} +\mathrm{bx}^{\mathrm{2}} +\mathrm{cx}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{then}\:\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\:\mathrm{has}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{equal}\:\mathrm{to}\: \\ $$
Answered by mr W last updated on 03/Feb/21
cos (cos^(−1) x+cos^(−1) 2x)=cos (π−cos^(−1) 3x) 2x^2 −(√((1−x^2 )(1−4x^2 )))=−3x (√((1−x^2 )(1−4x^2 )))=2x^2 +3x (1−x^2 )(1−4x^2 )=4x^4 +12x^3 +9x^2 12x^3 +14x^2 −1=0≡ax^3 +bx^2 +cx−1=0 ⇒a=12, b=14, c=0 ⇒a+b+c=26
$$\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{cos}^{−\mathrm{1}} {x}+\mathrm{cos}^{−\mathrm{1}} \mathrm{2}{x}\right)=\mathrm{cos}\:\left(\pi−\mathrm{cos}^{−\mathrm{1}} \mathrm{3}{x}\right) \\ $$$$\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} −\sqrt{\left(\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} \right)}=−\mathrm{3}{x} \\ $$$$\sqrt{\left(\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} \right)}=\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x} \\ $$$$\left(\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} \right)=\mathrm{4}{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{12}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{9}{x}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{12}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{14}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}=\mathrm{0}\equiv{ax}^{\mathrm{3}} +{bx}^{\mathrm{2}} +{cx}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{a}=\mathrm{12},\:{b}=\mathrm{14},\:{c}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{a}+{b}+{c}=\mathrm{26} \\ $$

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