Menu Close

# let-f-x-0-1-dt-ch-t-xsh-t-1-find-a-explicit-form-of-f-x-2-determine-g-x-0-1-dt-ch-t-xsh-t-2-3-calculate-0-1-dt-ch-t-3sh-t-and-0-1-dt-ch-t-3sh-t-

Question Number 66062 by mathmax by abdo last updated on 08/Aug/19
$${let}\:{f}\left({x}\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:\:\frac{{dt}}{{ch}\left({t}\right)+{xsh}\left({t}\right)} \\$$$$\left.\mathrm{1}\right)\:{find}\:{a}\:{explicit}\:{form}\:{of}\:{f}\left({x}\right) \\$$$$\left.\mathrm{2}\right)\:{determine}\:{g}\left({x}\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:\frac{{dt}}{\left({ch}\left({t}\right)+{xsh}\left({t}\right)\right)^{\mathrm{2}} } \\$$$$\left.\mathrm{3}\right)\:{calculate}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:\:\frac{{dt}}{{ch}\left({t}\right)+\mathrm{3}{sh}\left({t}\right)}\:{and}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:\frac{{dt}}{\left\{{ch}\left({t}\right)+\mathrm{3}{sh}\left({t}\right)\right\}^{\mathrm{2}} } \\$$
Commented by mathmax by abdo last updated on 11/Aug/19
$$\left.\mathrm{1}\right)\:{we}\:{have}\:{f}\left({x}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{{dt}}{{ch}\left({t}\right)+{xsh}\left({t}\right)}\:\Rightarrow \\$$$${f}\left({x}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:\frac{\mathrm{2}{dt}}{{e}^{{t}} \:+{e}^{−{t}} \:+{x}\left({e}^{{t}} −{e}^{−{t}} \right)}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{2}{dt}}{\left(\mathrm{1}+{x}\right){e}^{{t}} \:+\left(\mathrm{1}−{x}\right){e}^{−{t}} } \\$$$${changement}\:{e}^{{t}} ={u}\:{give}\:{f}\left({x}\right)=\int_{\mathrm{1}} ^{{e}} \:\:\frac{\mathrm{2}}{\left(\mathrm{1}+{x}\right){u}\:+\left(\mathrm{1}−{x}\right){u}^{−\mathrm{1}} }\frac{{du}}{{u}} \\$$$$=\int_{\mathrm{1}} ^{{e}} \:\:\:\frac{\mathrm{2}{du}}{\left(\mathrm{1}+{x}\right){u}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{1}−{x}\right)}\:=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}+{x}}\:\int_{\mathrm{1}} ^{{e}} \:\frac{{du}}{{u}^{\mathrm{2}} \:+\frac{\mathrm{1}−{x}}{\mathrm{1}+{x}}} \\$$$${case}\:\mathrm{1}\:\:\frac{\mathrm{1}−{x}}{\mathrm{1}+{x}}>\mathrm{0}\:\Rightarrow\mid{x}\mid<\mathrm{1}\:\:\:{we}\:{do}\:{the}\:{changement}\:{u}=\sqrt{\frac{\mathrm{1}−{x}}{\mathrm{1}+{x}}}{z}\:\Rightarrow \\$$$${f}\left({x}\right)\:=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}+{x}}\:\int_{\sqrt{\frac{\mathrm{1}+{x}}{\mathrm{1}−{x}}}} ^{{e}\sqrt{\frac{\mathrm{1}+{x}}{\mathrm{1}−{x}}}} \:\:\:\:\frac{\mathrm{1}+{x}}{\mathrm{1}−{x}}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{z}^{\mathrm{2}} }\:\sqrt{\frac{\mathrm{1}−{x}}{\mathrm{1}+{x}}}{dz} \\$$$$=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}−{x}}\frac{\sqrt{\mathrm{1}−{x}}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+{x}}}\:\left[{arctan}\left({z}\right)\right]_{\sqrt{\frac{\mathrm{1}+{x}}{\mathrm{1}−{x}}}} ^{{e}\sqrt{\frac{\mathrm{1}+{x}}{\mathrm{1}−{x}}}} \\$$$$=\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }}\left\{\:{arctan}\left({e}\sqrt{\frac{\mathrm{1}+{x}}{\mathrm{1}−{x}}}\right)−{arctan}\left(\sqrt{\frac{\mathrm{1}+{x}}{\mathrm{1}−{x}}}\right)\right\} \\$$$${case}\:\mathrm{2}\:\:\frac{\mathrm{1}−{x}}{\mathrm{1}−{x}}<\mathrm{0}\:\Rightarrow\mid{x}\mid>\mathrm{1}\:\Rightarrow{f}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{2}}{{x}+\mathrm{1}}\:\int_{\mathrm{1}} ^{{e}} \:\:\frac{{du}}{{u}^{\mathrm{2}} −\left(\sqrt{\frac{{x}−\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{1}}}\right)^{\mathrm{2}} } \\$$$$=_{{u}=\sqrt{\frac{{x}−\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{1}}}{z}} \:\:\:\:\frac{\mathrm{2}}{{x}+\mathrm{1}}\:\int_{\sqrt{\frac{{x}+\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{1}}}} ^{{e}\sqrt{\frac{{x}+\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{1}}}} \:\:\:\:\frac{{x}+\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{1}}\:\frac{\mathrm{1}}{{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\sqrt{\frac{{x}−\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{1}}}{dz} \\$$$$=\frac{\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{1}}\frac{\sqrt{{x}−\mathrm{1}}}{\:\sqrt{{x}+\mathrm{1}}}\:\int_{\sqrt{\frac{{x}+\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{1}}}} ^{{e}\sqrt{\frac{{x}+\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{1}}}} \:\:\:\:\left\{\frac{\mathrm{1}}{{z}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{{z}+\mathrm{1}}\right\}{dz} \\$$$$=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\left[{ln}\mid\frac{{z}−\mathrm{1}}{{z}+\mathrm{1}}\mid\right]_{\sqrt{\frac{{x}+\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{1}}}} ^{{e}\sqrt{\frac{{x}+\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{1}}}} \:\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\left\{{ln}\mid\frac{\frac{{e}\sqrt{{x}+\mathrm{1}}}{\:\sqrt{{x}−\mathrm{1}}}−\mathrm{1}}{\frac{{e}\sqrt{{x}+\mathrm{1}}}{\:\sqrt{{x}−\mathrm{1}}}+\mathrm{1}}\mid\right. \\$$$$\left.−{ln}\mid\frac{\frac{\sqrt{{x}+\mathrm{1}}}{\:\sqrt{{x}−\mathrm{1}}}−\mathrm{1}}{\frac{\sqrt{{x}+\mathrm{1}}}{\:\sqrt{{x}−\mathrm{1}}}+\mathrm{1}}\mid\right\}\:\Rightarrow \\$$$${f}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\left\{{ln}\mid\frac{{e}\sqrt{{x}+\mathrm{1}}−\sqrt{{x}−\mathrm{1}}}{{e}\sqrt{{x}+\mathrm{1}}+\sqrt{{x}−\mathrm{1}}}\mid−{ln}\mid\frac{\sqrt{{x}+\mathrm{1}}−\sqrt{{x}−\mathrm{1}}}{\:\sqrt{{x}+\mathrm{1}}+\sqrt{{x}−\mathrm{1}}}\mid\right\} \\$$
Commented by mathmax by abdo last updated on 11/Aug/19
$$\left.\mathrm{2}\right)\:{sorry}\:{g}\left({x}\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{{sh}\left({t}\right){dt}}{\left({ch}\left({t}\right)+{xsh}\left({t}\right)\right)^{\mathrm{2}} } \\$$$${we}\:{have}\:{f}^{'} \left({x}\right)=−\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{1}} \:\:\frac{{sh}\left({t}\right)}{\left({ch}\left({t}\right)+{xsh}\left({t}\right)\right)^{\mathrm{2}} }\:=−{g}\left({x}\right)\:\Rightarrow \\$$$${g}\left({x}\right)=−{f}^{'} \left({x}\right)\:{rest}\:{to}\:{calculate}\:{f}^{'} \left({x}\right) \\$$$$\\$$
Commented by mathmax by abdo last updated on 11/Aug/19
$$\left.\mathrm{3}\right)\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:\:\frac{{dt}}{{ch}\left({t}\right)+\mathrm{3}{sh}\left({t}\right)}\:={f}\left(\mathrm{3}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}\left\{{ln}\left(\frac{\mathrm{2}{e}−\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}{e}+\sqrt{\mathrm{2}}}\right)−{ln}\left(\frac{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}}\right)\right\} \\$$