lim-x-0-1-sin-x-cos-x-1-sin-px-cos-px-

Question Number 134171 by liberty last updated on 28/Feb/21

$$\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{1}+\mathrm{sin}\:\mathrm{x}−\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}{\mathrm{1}+\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{px}\right)−\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{px}\right)}\:=? \\ $$

Answered by malwan last updated on 28/Feb/21

$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {{lim}}\:\frac{\mathrm{1}+\left({x}−…\right)−\left(\mathrm{1}−…\right)}{\mathrm{1}+\left({px}−…\right)−\left(\mathrm{1}−…\right)}\:\:=\:\frac{\mathrm{1}}{{p}} \\ $$

Answered by physicstutes last updated on 28/Feb/21

$$\:{L}\:=\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\left(\frac{\mathrm{cos}\:{x}\:+\:\mathrm{sin}\:{x}}{{p}\:\mathrm{cos}\:{px}\:+\:{p}\:\mathrm{sin}\:{px}}\right)\:=\:\frac{\mathrm{1}}{{p}} \\ $$

Answered by liberty last updated on 01/Mar/21

$$\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{2sin}\:^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)+\mathrm{2sin}\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\mathrm{cos}\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)}{\mathrm{2sin}\:^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{px}\right)+\mathrm{2sin}\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{px}\right)\mathrm{cos}\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{px}\right)} \\ $$$$=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\left[\frac{\mathrm{sin}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}}{\mathrm{sin}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{px}}\:\right].\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\left[\frac{\mathrm{sin}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}+\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}}{\mathrm{sin}\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{px}+\mathrm{cos}\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{px}}\:\right] \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{p}}\:×\mathrm{1}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{p}} \\ $$

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