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mathematical-analysis-prove-that-1-0-1-ln-x-cos-2-pix-dx-ln-2pi-4-pi-8-2-lim-n-n-1-n-2-2-n-3-2-1-

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Question Number 134079 by mnjuly1970 last updated on 27/Feb/21
.....mathematical analysis..... prove that:: 1: 𝛗=∫_0 ^( 1) ln(Γ(x))cos^2 (πx)dx=((ln(2π))/4)+(π/8) ..✓ 2: lim_(n→∞) ((Γ(n+1)Γ(n+2))/(Γ^2 (n+(3/2)))) =1...✓
$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:…..{mathematical}\:\:\:\:{analysis}….. \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:{prove}\:\:{that}:: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}:\:\boldsymbol{\phi}=\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} {ln}\left(\Gamma\left({x}\right)\right){cos}^{\mathrm{2}} \left(\pi{x}\right){dx}=\frac{{ln}\left(\mathrm{2}\pi\right)}{\mathrm{4}}+\frac{\pi}{\mathrm{8}}\:..\checkmark \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{2}:\:\:{lim}_{{n}\rightarrow\infty} \frac{\Gamma\left({n}+\mathrm{1}\right)\Gamma\left({n}+\mathrm{2}\right)}{\Gamma^{\mathrm{2}} \left({n}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)}\:=\mathrm{1}…\checkmark \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 27/Feb/21
Φ=∫_0 ^1 ln(Γ(x)cos^2 (πx)dx changement x=1−t give Φ =∫_0 ^1 ln(Γ(1−x))cos^2 (πx)dt we know Γ(x).Γ(1−x)=(π/(sin(πx))) ⇒ln(Γ(x))+ln(Γ(1−x))=ln(π)−ln(sin(πx)) ⇒ ∫_0 ^1 ln(Γ(x))cos^2 (πx)dx +∫_0 ^1 ln(Γ(1−x))cos^2 (πx)dx =ln(π)∫_0 ^1 cos^2 (πx)dx−∫_0 ^1 ln(sin(πx)cos^2 (πx)dx ⇒ 2Φ =((ln(π))/2)∫_0 ^1 (1+cos(2πx))dx−(1/2)∫_0 ^1 (1+cos(2πx))ln(sinπx)dx we have ∫_0 ^1 (1+cos(2πx)dx =1+[(1/(2π))sin(2πx)]_0 ^1 =1 ∫_0 ^1 (1+cos(2πx))ln(sin(πx))dx=∫_0 ^1 ln(sin(πx))dx +∫_0 ^1 cos(2πx)ln(sin(πx)dx and∫_0 ^1 ln(sin(πx))dx=_(πx=t) ∫_0 ^π ln(sint)(dt/π) =(1/π)(∫_0 ^(π/2) ln(sint)dt +∫_(π/2) ^π ln(sint)dt(→t=(π/2)+u) =(1/π)(−(π/2)ln(2)−(π/2)ln(2))=−ln(2) ∫_0 ^1 cos(2πx)ln(sin(πx)dx =[(1/(2π))sin(2πx)ln(sin(πx)]_0 ^1 −∫_0 ^1 (1/(2π))sin(2πx)((πcos(πx))/(sin(πx)))dx =−(1/2)∫_0 ^1 2sin(πx)cos(πx)((cos(πx))/(sin(πx)))dx =−∫_0 ^1 cos^2 (πx)dx =−(1/2)∫_0 ^1 (1+cos(2πx))dx =−(1/2) ⇒ 2Φ =((ln(π))/2)−(1/2)(−ln2 −(1/2)) =((ln(π))/2)+((ln(2))/2)+(1/4) ⇒ Φ =((ln(π))/4)+((ln(2))/4)+(1/8) ⇒Φ=((ln(2π))/4)+(1/8)
$$\Phi=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{ln}\left(\Gamma\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\pi\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\:\:\mathrm{changement}\:\mathrm{x}=\mathrm{1}−\mathrm{t}\:\mathrm{give}\right. \\ $$$$\Phi\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{ln}\left(\Gamma\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\right)\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\pi\mathrm{x}\right)\mathrm{dt}\:\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{know}\:\Gamma\left(\mathrm{x}\right).\Gamma\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)=\frac{\pi}{\mathrm{sin}\left(\pi\mathrm{x}\right)} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{ln}\left(\Gamma\left(\mathrm{x}\right)\right)+\mathrm{ln}\left(\Gamma\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\right)=\mathrm{ln}\left(\pi\right)−\mathrm{ln}\left(\mathrm{sin}\left(\pi\mathrm{x}\right)\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{ln}\left(\Gamma\left(\mathrm{x}\right)\right)\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\pi\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\:+\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{ln}\left(\Gamma\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\right)\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\pi\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\mathrm{ln}\left(\pi\right)\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\pi\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{sin}\left(\pi\mathrm{x}\right)\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\pi\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\:\Rightarrow\right. \\ $$$$\mathrm{2}\Phi\:=\frac{\mathrm{ln}\left(\pi\right)}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{2}\pi\mathrm{x}\right)\right)\mathrm{dx}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{2}\pi\mathrm{x}\right)\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{sin}\pi\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{2}\pi\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\:=\mathrm{1}+\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi}\mathrm{sin}\left(\mathrm{2}\pi\mathrm{x}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} =\mathrm{1}\right. \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{2}\pi\mathrm{x}\right)\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{sin}\left(\pi\mathrm{x}\right)\right)\mathrm{dx}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{sin}\left(\pi\mathrm{x}\right)\right)\mathrm{dx} \\ $$$$+\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{2}\pi\mathrm{x}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{sin}\left(\pi\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\:\mathrm{and}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{sin}\left(\pi\mathrm{x}\right)\right)\mathrm{dx}=_{\pi\mathrm{x}=\mathrm{t}} \int_{\mathrm{0}} ^{\pi} \mathrm{ln}\left(\mathrm{sint}\right)\frac{\mathrm{dt}}{\pi}\right. \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\pi}\left(\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{ln}\left(\mathrm{sint}\right)\mathrm{dt}\:+\int_{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} ^{\pi} \:\mathrm{ln}\left(\mathrm{sint}\right)\mathrm{dt}\left(\rightarrow\mathrm{t}=\frac{\pi}{\mathrm{2}}+\mathrm{u}\right)\right. \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\pi}\left(−\frac{\pi}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)−\frac{\pi}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)\right)=−\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{2}\pi\mathrm{x}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{sin}\left(\pi\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\:=\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi}\mathrm{sin}\left(\mathrm{2}\pi\mathrm{x}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{sin}\left(\pi\mathrm{x}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \right.\right. \\ $$$$−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi}\mathrm{sin}\left(\mathrm{2}\pi\mathrm{x}\right)\frac{\pi\mathrm{cos}\left(\pi\mathrm{x}\right)}{\mathrm{sin}\left(\pi\mathrm{x}\right)}\mathrm{dx} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{2sin}\left(\pi\mathrm{x}\right)\mathrm{cos}\left(\pi\mathrm{x}\right)\frac{\mathrm{cos}\left(\pi\mathrm{x}\right)}{\mathrm{sin}\left(\pi\mathrm{x}\right)}\mathrm{dx} \\ $$$$=−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\pi\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{2}\pi\mathrm{x}\right)\right)\mathrm{dx}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{2}\Phi\:=\frac{\mathrm{ln}\left(\pi\right)}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(−\mathrm{ln2}\:\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\:=\frac{\mathrm{ln}\left(\pi\right)}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:\Rightarrow \\ $$$$\Phi\:=\frac{\mathrm{ln}\left(\pi\right)}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\:\Rightarrow\Phi=\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\pi\right)}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}} \\ $$$$ \\ $$
Commented by mnjuly1970 last updated on 27/Feb/21
thank you sir
$$\:\:\:\:{thank}\:{you}\:{sir} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 28/Feb/21
Γ(n+1)=n!∼n^n e^(−n) (√(2πn)) Γ(n+2)=(n+1)! ∼(n+1)^(n+1) e^(−(n+1)) (√(2π(n+1))) Γ(n+(3/2)) =(n+(1/2))!∼(n+(1/2))^(n+(1/2)) e^(−(n+(1/2))) (√(2π(n+(1/2)))) ⇒ Γ^2 (n+(3/2))=(n+(1/2))^(2n+1) e^(−(2n+1)) (2π(n+(1/2))) ⇒ V_n ∼((n^n e^(−n) (√(2πn)).(n+1)^(n+1) e^(−(n+1)) (√(2π(n+1))))/((n+(1/2))^(2n+1) e^(−(2n+1)) π(2n+1))) =((n^(2n+1) e^(−(2n+1)) (1+(1/n))^(n+1) 2π(√(n^2 +n)))/((n+(1/2))^(2n+1) e^(−(2n+1)) π(2n+1))) =((n/(n+(1/2))))^(2n+1) (1+(1/n))^(n+1) ⇒ V_n ∼e^((2n+1)ln((n/(n+(1/2))))) .e^((n+1)ln(1+(1/n))) we have ln((n/(n+(1/2))))=ln(1−(1/(2(n+(1/2)))))=ln(1−(1/(2n+1)))∼−(1/(2n+1)) ⇒(2n+1)ln(...)∼e^(−1) also (n+1)ln(1+(1/n))∼((n+1)/n)∼1 ⇒ e^((n+1)ln(...)) ∼e ⇒lim_(n→+∞) V_n =e^(−1) .e =1
$$\Gamma\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{n}!\sim\mathrm{n}^{\mathrm{n}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{n}} \sqrt{\mathrm{2}\pi\mathrm{n}} \\ $$$$\Gamma\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)=\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)!\:\sim\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)} \sqrt{\mathrm{2}\pi\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\Gamma\left(\mathrm{n}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)\:=\left(\mathrm{n}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)!\sim\left(\mathrm{n}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{n}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \mathrm{e}^{−\left(\mathrm{n}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)} \sqrt{\mathrm{2}\pi\left(\mathrm{n}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)}\:\Rightarrow \\ $$$$\Gamma^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{n}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)=\left(\mathrm{n}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \mathrm{e}^{−\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)} \left(\mathrm{2}\pi\left(\mathrm{n}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{V}_{\mathrm{n}} \sim\frac{\left.\mathrm{n}^{\mathrm{n}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{n}} \sqrt{\mathrm{2}\pi\mathrm{n}}.\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \mathrm{e}^{−\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)} \sqrt{\mathrm{2}\pi\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right.}\right)}{\left(\mathrm{n}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \:\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)} \pi\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{n}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \mathrm{e}^{−\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)} \left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \mathrm{2}\pi\sqrt{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{n}}}{\left(\mathrm{n}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \:\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)} \pi\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\left(\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{n}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\:\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{V}_{\mathrm{n}} \sim\mathrm{e}^{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{n}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)} .\mathrm{e}^{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\right)} \:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{n}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)=\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{n}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)}\right)=\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\right)\sim−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{ln}\left(…\right)\sim\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} \:\:\mathrm{also}\:\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\right)\sim\frac{\mathrm{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\sim\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{e}^{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{ln}\left(…\right)} \:\sim\mathrm{e}\:\Rightarrow\mathrm{lim}_{\mathrm{n}\rightarrow+\infty} \mathrm{V}_{\mathrm{n}} =\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} .\mathrm{e}\:=\mathrm{1} \\ $$
Commented by mnjuly1970 last updated on 28/Feb/21
thanks alot sir mathmxax excellent ...tayeballah...
$$\:\:\:{thanks}\:{alot}\:{sir}\:{mathmxax} \\ $$$$\:\:\:{excellent}\:…{tayeballah}… \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 06/Mar/21
your are welcome sir
$$\mathrm{your}\:\mathrm{are}\:\mathrm{welcome}\:\mathrm{sir} \\ $$

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