# One-can-only-move-to-the-right-or-downwards-on-the-4-by-6-point-lattice-shown-How-many-paths-from-to-are-there-

Question Number 3273 by Yozzi last updated on 09/Dec/15
$$\ast\:\:\ast\:\:\ast\:\:\ast\:\:\:\:{One}\:{can}\:{only}\:{move}\:{to}\:{the} \\$$$$\ast\:\:\ast\:\:\ast\:\:\ast\:\:\:\:{right}\:{or}\:{downwards}\:{on}\:{the} \\$$$$\ast\:\:\ast\:\:\ast\:\:\ast\:\:\:\:\mathrm{4}\:{by}\:\mathrm{6}\:{point}\:{lattice}\:{shown}. \\$$$$\ast\:\:\ast\:\:\ast\:\:\ast\:\:\:\:{How}\:{many}\:{paths}\:{from}\:\ast\:{to} \\$$$$\ast\:\:\ast\:\:\ast\:\:\ast\:\:\:\:\:\:\ast\:{are}\:{there}?\: \\$$$$\ast\:\:\ast\:\:\ast\:\:\ast \\$$$$\\$$
Answered by Filup last updated on 09/Dec/15
$$\mathrm{Assume}\:\mathrm{you}\:\mathrm{move}\:\ast \\$$$$\\$$$$\mathrm{You}\:\mathrm{must}\:\mathrm{move}: \\$$$$\mathrm{Down}\:\mathrm{5}\:\mathrm{times} \\$$$$\mathrm{Right}\:\mathrm{3}\:\mathrm{times} \\$$$$\\$$$$\mathrm{You}\:\mathrm{can}\:\mathrm{move}\:\mathrm{in}\:\mathrm{any}\:{combination} \\$$$$\mathrm{just}\:\mathrm{so}\:\mathrm{long}\:\mathrm{as}\:\mathrm{all}\:\mathrm{moves}\:\mathrm{are}\:\mathrm{made} \\$$$$\\$$$$\therefore\mathrm{it}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{permutation}\:^{\mathrm{5}} \mathrm{P}_{\mathrm{3}} =\mathrm{60} \\$$
Commented by Filup last updated on 09/Dec/15
$$\mathrm{I}\:\mathrm{hope}\:\mathrm{this}\:\mathrm{is}\:\mathrm{correct}! \\$$
Answered by prakash jain last updated on 09/Dec/15
$${x}_{\mathrm{1}} {d}_{\mathrm{1}} {x}_{\mathrm{2}} {d}_{\mathrm{2}} {x}_{\mathrm{3}} {d}_{\mathrm{3}} {x}_{\mathrm{4}} {d}_{\mathrm{4}} {x}_{\mathrm{5}} {d}_{\mathrm{5}} {x}_{\mathrm{6}} \\$$$${x}\:{needs}\:{to}\:{be}\:{filled}\:{with}\:{r}_{\mathrm{1}} {r}_{\mathrm{2}} {r}_{\mathrm{3}} \\$$$${r}_{\mathrm{1}} {r}_{\mathrm{2}} {r}_{\mathrm{3}} \:{together}\:\:\:\:\mathrm{6}\:{choices} \\$$$${r}_{\mathrm{1}} {r}_{\mathrm{2}} \:{and}\:{r}_{\mathrm{3}} \:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{5}+\mathrm{4}+\mathrm{3}+\mathrm{2}+\mathrm{1}=\mathrm{15} \\$$$$\:\:\:\:\:\left({r}_{\mathrm{1}} {r}_{\mathrm{2}} \:\mathrm{at}\:{x}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{leaves}\:\mathrm{5}\:\mathrm{possibilities}\:\mathrm{for}\:{r}_{\mathrm{3}} \right) \\$$$${r}_{\mathrm{1}} \:{and}\:{r}_{\mathrm{2}} {r}_{\mathrm{3}} \:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{5}+\mathrm{4}+\mathrm{3}+\mathrm{2}+\mathrm{1}=\mathrm{15} \\$$$$\:\:\:\:\:\:\left({same}\:{as}\:{above}\right) \\$$$${r}_{\mathrm{1}} {r}_{\mathrm{2}} {r}_{\mathrm{3}} \\$$$${r}_{\mathrm{1}} \:{at}\:{x}_{\mathrm{1}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{x}_{\mathrm{1}} {x}_{\mathrm{2}} {x}_{\mathrm{3}} \:\:{x}_{\mathrm{1}} {x}_{\mathrm{2}} {x}_{\mathrm{4}} \:\:{x}_{\mathrm{1}} {x}_{\mathrm{2}} {x}_{\mathrm{5}} \:\:{x}_{\mathrm{1}} {x}_{\mathrm{2}} {x}_{\mathrm{6}} \\$$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{x}_{\mathrm{1}} {x}_{\mathrm{3}} {x}_{\mathrm{4}} \:\:\:{x}_{\mathrm{1}} {x}_{\mathrm{3}} {x}_{\mathrm{5}} \:\:{x}_{\mathrm{1}} {x}_{\mathrm{3}} {x}_{\mathrm{6}} \\$$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{x}_{\mathrm{1}} {x}_{\mathrm{4}} {x}_{\mathrm{5}} \:\:\:{x}_{\mathrm{1}} {x}_{\mathrm{5}} {x}_{\mathrm{6}} \\$$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{x}_{\mathrm{1}} {x}_{\mathrm{5}} {x}_{\mathrm{6}} =\mathrm{4}+\mathrm{3}+\mathrm{2}+\mathrm{1}=\mathrm{10} \\$$$${similarly}\:{r}_{\mathrm{1}} \:{taking}\:{x}_{\mathrm{2}} \:{will}\:{give}\:\left(\mathrm{3}+\mathrm{2}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{6} \\$$$${similarly}\:{r}_{\mathrm{1}} \:{taking}\:{x}_{\mathrm{3}} \:{will}\:{give}\:\left(\mathrm{2}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{3} \\$$$${similarly}\:{r}_{\mathrm{1}} \:{taking}\:{x}_{\mathrm{4}} \:{will}\:{give}\:\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{1} \\$$$${total}=\mathrm{6}+\mathrm{15}+\mathrm{15}+\mathrm{10}+\mathrm{6}+\mathrm{3}+\mathrm{1}=\mathrm{56} \\$$
Commented by prakash jain last updated on 09/Dec/15
$$\mathrm{Answer}\:\mathrm{in}\:\mathrm{factorials} \\$$$$\:\mathrm{csse}\:\mathrm{1}:\:^{\mathrm{6}} {P}_{\mathrm{1}} \:\:\:\left(\mathrm{3r}\:\mathrm{together}\right)=\mathrm{6} \\$$$$\:\mathrm{case}\:\mathrm{2}:\:^{\mathrm{6}} {P}_{\mathrm{2}} \:\:\left({r}\:\mathrm{2}{r}\:\mathrm{2}\:{slots}\:{to}\:{be}\:{filled}\:{in}\:\mathrm{6}\right)=\mathrm{30} \\$$$$\:\:\mathrm{case}\:\mathrm{3}:\:\frac{{P}_{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}!}\:\left({r}\:{r}\:{r}\:\mathrm{3}\:{slots}\:{to}\:{be}\:{filled}.\:\mathrm{3}\:{duplicates}\right)=\mathrm{20} \\$$
Commented by prakash jain last updated on 11/Dec/15
$$\mathrm{You}\:\mathrm{can}\:\mathrm{also}\:\mathrm{solve}\:\mathrm{this}\:\mathrm{problem}\:\mathrm{with} \\$$$$\mathrm{combination}\:\mathrm{formula}. \\$$$$\mathrm{8}\:\mathrm{steps}\:\mathrm{need}\:\mathrm{to}\:\mathrm{be}\:\mathrm{taken} \\$$$$\mathrm{SSSSSSSS}\:\:\:\left(\mathrm{5D},\:\mathrm{3R}\right) \\$$$$\mathrm{The}\:\mathrm{problem}\:\mathrm{is}\:\mathrm{choosing}\:\mathrm{3}\:\mathrm{steps}\:\mathrm{among} \\$$$$\mathrm{8}\:\mathrm{where}\:\mathrm{R}\:\mathrm{will}\:\mathrm{be}\:\mathrm{placed}\:\mathrm{remaining} \\$$$$\mathrm{position}\:\mathrm{will}\:\mathrm{have}\:\mathrm{D}. \\$$$$\mathrm{total}\:\mathrm{number}\:\mathrm{of}\:\mathrm{ways}=\:^{\mathrm{8}} {C}_{\mathrm{3}} =\mathrm{56} \\$$
Answered by Rasheed Soomro last updated on 09/Dec/15
$$\mathcal{T}{otal}\:{positions}\:\mathrm{24}.\mathcal{L}{et}\:{every}\:{position} \\$$$${be}\:{specified}\:\:{by}\:{coordinates}\:{as}\:{below}: \\$$$$\mathrm{00}\:\:\mathrm{10}\:\:\mathrm{20}\:\:\mathrm{30} \\$$$$\mathrm{01}\:\:\mathrm{11}\:\:\mathrm{21}\:\:\mathrm{31} \\$$$$\mathrm{02}\:\:\mathrm{12}\:\:\mathrm{22}\:\:\mathrm{32} \\$$$$\mathrm{03}\:\:\mathrm{13}\:\:\mathrm{23}\:\:\mathrm{33} \\$$$$\mathrm{04}\:\:\mathrm{14}\:\:\mathrm{24}\:\:\mathrm{34} \\$$$$\mathrm{05}\:\:\mathrm{15}\:\:\mathrm{25}\:\:\mathrm{35} \\$$$$\mathcal{F}{rom}\:\mathrm{00}\:\:\:\mathrm{3}+\mathrm{5}=\mathrm{8}\:{moves}\:\:{are}\:{possible} \\$$$$\mathcal{F}{rom}\:{mn}\:\: \\$$
Commented by prakash jain last updated on 09/Dec/15
$$\mathrm{Consider}\:\mathrm{this} \\$$$$\mathrm{3r}+\mathrm{5d} \\$$$$\mathrm{1d}+\mathrm{3r}+\mathrm{4d} \\$$$$\mathrm{2d}+\mathrm{3r}+\mathrm{3d} \\$$$$\mathrm{3d}+\mathrm{3r}+\mathrm{2d} \\$$$$\mathrm{4d}+\mathrm{3r}+\mathrm{d} \\$$$$\mathrm{4d}+\mathrm{r} \\$$$$\mathrm{2r}+\mathrm{5d}+\mathrm{r} \\$$$$\mathrm{2r}+\mathrm{4d}+\mathrm{r}+\mathrm{d} \\$$$$\mathrm{2r}+\mathrm{3d}+\mathrm{r}+\mathrm{2d} \\$$$$\mathrm{2r}+\mathrm{2d}+\mathrm{r}+\mathrm{3d} \\$$$$\mathrm{2r}+\mathrm{d}+\mathrm{r}+\mathrm{4d} \\$$$$\mathrm{and}\:\mathrm{so}\:\mathrm{on}. \\$$
Commented by Rasheed Soomro last updated on 09/Dec/15
$$\mathcal{T}{h}^{\alpha} {n}\mathcal{K}^{\mathcal{S}} . \\$$