Menu Close

Question-133938

Tinku Tara 0 Comments
Pin




Question Number 133938 by Algoritm last updated on 25/Feb/21
Answered by mathmax by abdo last updated on 25/Feb/21
I =∫_0 ^1 ((ln(−lnx))/(1+x^2 ))dx changement −lnx=t give x=e^(−t) ⇒ I=∫_0 ^∞ ((ln(t))/(1 +e^(−2t) ))e^(−t) dt =∫_0 ^∞ e^(−t) ln(t)Σ_(n=0) ^∞ (−1)^n e^(−2nt) dt =Σ_(n=0) ^∞ (−1)^n ∫_0 ^∞ e^(−(2n+1)t) ln(t)dt =_((2n+1)t=u) Σ_(n=0) ^∞ (−1)^n ∫_0 ^∞ e^(−u) ln((u/(2n+1)))(du/(2n+1)) =Σ_(n=0) ^∞ (((−1)^n )/(2n+1)) ∫_0 ^∞ e^(−u) {lnu−ln(2n+1)}du =Σ_(n=0) ^∞ (((−1)^n )/(2n+1))∫_0 ^∞ e^(−u) lnudu −Σ_(n=0) ^∞ (((−1)^n ln(2n+1))/(2n+1)) =−(π/4)γ −Σ_(n=0) ^∞ (((−1)^n )/(2n+1))ln(2n+1) rest to find the value of this serie ....be continued...
$$\mathrm{I}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(−\mathrm{lnx}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:\mathrm{changement}\:−\mathrm{lnx}=\mathrm{t}\:\mathrm{give}\:\mathrm{x}=\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{I}=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{1}\:+\mathrm{e}^{−\mathrm{2t}} }\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \:\mathrm{dt}\:\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{2nt}} \:\mathrm{dt} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{t}} \:\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}\:\:=_{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{t}=\mathrm{u}} \:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{u}} \mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{u}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\right)\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{u}} \left\{\mathrm{lnu}−\mathrm{ln}\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\right\}\mathrm{du} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{u}} \mathrm{lnudu}\:−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \\ $$$$=−\frac{\pi}{\mathrm{4}}\gamma\:−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\:\:\mathrm{rest}\:\mathrm{to}\:\mathrm{find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{this}\:\mathrm{serie} \\ $$$$….\mathrm{be}\:\mathrm{continued}… \\ $$

Pin

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *