Question Number 133976 by liberty last updated on 26/Feb/21
$$\:\mathrm{sin}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}}\right)+\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}\right)=? \\ $$
Answered by bemath last updated on 26/Feb/21
$$\mathrm{let}\:\mathrm{sin}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}}\right)=\vartheta\:\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{sin}\:\vartheta=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}}}\\{\mathrm{tan}\:\vartheta=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}}\end{cases} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{sin}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\Leftrightarrow\:\mathrm{sin}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}}\right)+\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}\right)= \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\right)+\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}\right)= \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}.\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}}\right)\:=\:\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{25}}\right)=\frac{\pi}{\mathrm{4}} \\ $$