Question Number 3143 by Rasheed Soomro last updated on 06/Dec/15
$$\mathcal{S}{uggest}\:{minimum}\:{number}\:{of}\:{weights}\:{by}\:{which}\:{we}\:\:{can}\: \\$$$${weigh}\:\:{upto}\:\mathrm{40}\:{kgs}\left({in}\:{whole}\:{numbers}\right)\:{in}\:{a}\:{traditional}\:{balance}. \\$$$${If}\:{possible}\:{mention}\:{the}\:{process}\:{also}. \\$$
Commented by Rasheed Soomro last updated on 06/Dec/15
$$\mathcal{I}{n}\:{a}\:{traditional}\:{balance}\:{we}\:{can}\:{place}\:{weights}\:{on}\:{both} \\$$$${sides}. \\$$
Answered by prakash jain last updated on 06/Dec/15
$$\mathrm{You}\:\mathrm{start}\:\mathrm{with}\:\mathrm{1kg} \\$$$$\mathrm{For}\:\mathrm{2}\:\mathrm{kg}\:\mathrm{select}\:\mathrm{1}+\mathrm{2}=\mathrm{3kg}\:−\:\mathrm{you}\:\mathrm{get}\:\mathrm{1}\:\mathrm{to}\:\mathrm{4} \\$$$$\mathrm{for}\:\mathrm{5}\:\mathrm{kg}\:\mathrm{select}\:\mathrm{4}+\mathrm{5}=\mathrm{9kg}\:\mathrm{you}\:\mathrm{get}\:\mathrm{1to}\:\mathrm{13kgs} \\$$$$\mathrm{for}\:\mathrm{14kg}\:\mathrm{select}\:\mathrm{13}+\mathrm{14}=\mathrm{27kg}\:\mathrm{you}\:\mathrm{get}\:\mathrm{1}\:\mathrm{to}\:\mathrm{40}. \\$$$$\mathrm{so}\:\mathrm{you}\:\mathrm{need}\:\mathrm{following}\:\mathrm{weight} \\$$$$\mathrm{1},\mathrm{3},\mathrm{9},\mathrm{27}\:\mathrm{to}\:\mathrm{weight}\:\mathrm{all}\:\mathrm{upto}\:\mathrm{40kg}\:\left(\mathrm{in}\:\mathrm{whole}\:\mathrm{numbers}\right). \\$$
Commented by RasheedAhmad last updated on 06/Dec/15
$$\overset{\mathcal{V}} {\mathcal{N}}{ice}\:\mathcal{S}{ir}! \\$$
Commented by RasheedAhmad last updated on 06/Dec/15
$$\:^{{Rasheed}\:{Soomro}} \\$$$$\mathcal{A}{ll}\:{are}\:{powers}\:{of}\:\mathrm{3}. \\$$$$\mathcal{N}{ext}\:{power}\:{is}\:\mathrm{81} \\$$$$\mathcal{F}{ive}\:{weights}\left(\mathrm{1},\mathrm{3},\mathrm{9},\mathrm{27},\mathrm{81}\right)\:{can} \\$$$${weigh}\:{upto}\:\mathrm{1}+\mathrm{3}+\mathrm{9}+\mathrm{27}+\mathrm{81}=\mathrm{121}\:\mathrm{kg}. \\$$$${n}\:{weights}\:\mathrm{3}^{\mathrm{0}} ,\mathrm{3}^{\mathrm{1}} ,\mathrm{3}^{\mathrm{2}} ,…\mathrm{3}^{{n}−\mathrm{1}} \:{can}\:{weigh} \\$$$${upto}\:\mathrm{3}^{\mathrm{0}} +\mathrm{3}^{\mathrm{1}} +\mathrm{3}^{\mathrm{2}} +…+\mathrm{3}^{{n}−\mathrm{1}} \\$$$$=\frac{\mathrm{3}^{{n}} −\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\: \\$$
Commented by prakash jain last updated on 06/Dec/15
$$\mathrm{Yes}. \\$$
Commented by Yozzi last updated on 06/Dec/15
$${Why}\:{is}\:{your}\:{answer}\:{correct}?\:{Why} \\$$$${start}\:{with}\:\mathrm{1}\:{kg},{then}\:\mathrm{2}{kg},\:…? \\$$$${I}\:{don}'{t}\:{understand}\:{your}\:{steps}. \\$$$$\left({not}\:{doubting}\:{it}'{s}\:{wrong};\:{I}\:{want}\:{to}\right. \\$$$${understand}\:{the}\:{idea}\:{behind}\:{the} \\$$$$\left.{question}.\right) \\$$
Commented by prakash jain last updated on 06/Dec/15
$$\mathrm{With}\:\mathrm{1}\:\mathrm{kg}\:\mathrm{you}\:\mathrm{can}\:\mathrm{weigh}\:\mathrm{up}\:\mathrm{to}\:\mathrm{1kg}. \\$$$$\mathrm{To}\:\mathrm{weigh}\:\mathrm{2}\:\mathrm{kg}\:\mathrm{the}\:\mathrm{maximum}\:\mathrm{weight} \\$$$$\mathrm{that}\:\mathrm{we}\:\mathrm{can}\:\mathrm{use}\:\mathrm{is}\:\mathrm{3kg}.\:\mathrm{This}\:\mathrm{gives}\:\mathrm{the}\:\mathrm{maximum} \\$$$$\mathrm{range}\:\mathrm{to}\:\mathrm{4}\:\mathrm{kg}.\:\mathrm{1},\:\mathrm{3}−\mathrm{1},\mathrm{3},\:\mathrm{3}+\mathrm{1}. \\$$$$\mathrm{Similarly}\:\mathrm{we}\:\mathrm{use}\:\mathrm{the}\:\mathrm{largest}\:\mathrm{possible} \\$$$$\mathrm{weight}\:\mathrm{every}\:\mathrm{time}\:\mathrm{to}\:\mathrm{get}\:\mathrm{the}\:\mathrm{max}\:\mathrm{range}\:\mathrm{so} \\$$$$\mathrm{that}\:\mathrm{minimum}\:\mathrm{number}\:\mathrm{of}\:\mathrm{weights}\:\mathrm{are}\:\mathrm{used}. \\$$$$\mathrm{Since}\:\mathrm{we}\:\mathrm{are}\:\mathrm{able}\:\mathrm{to}\:\mathrm{weigh}\:\mathrm{1}\:\mathrm{to}\:\mathrm{4}\:\left(\mathrm{with}\:\mathrm{1and3}\right) \\$$$$\mathrm{adding}\:\mathrm{9kg}\:\mathrm{will}\:\mathrm{allow}\:\mathrm{addition}\:\mathrm{range} \\$$$$\left(\mathrm{9}−\mathrm{4}\right)\:\mathrm{to}\:\left(\mathrm{9}+\mathrm{4}\right). \\$$$$\mathrm{and}\:\mathrm{so}\:\mathrm{on}. \\$$$$\mathrm{1}=\mathrm{1} \\$$$$\mathrm{2}=\mathrm{3}−\mathrm{1} \\$$$$\mathrm{3}=\mathrm{3} \\$$$$\mathrm{4}=\mathrm{3}+\mathrm{1} \\$$$$\mathrm{5}=\mathrm{9}−\mathrm{4}=\mathrm{9}−\left(\mathrm{3}+\mathrm{1}\right) \\$$$$\mathrm{6}=\mathrm{9}−\mathrm{3} \\$$$$\mathrm{7}=\mathrm{9}−\mathrm{2}=\mathrm{9}−\left(\mathrm{3}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{9}+\mathrm{1}−\mathrm{3} \\$$$$\mathrm{8}=\mathrm{9}−\mathrm{1} \\$$$$\mathrm{9}=\mathrm{9} \\$$$$\mathrm{10}=\mathrm{9}+\mathrm{1} \\$$$$\mathrm{11}=\mathrm{9}+\mathrm{3}−\mathrm{1} \\$$$$\mathrm{12}=\mathrm{9}+\mathrm{3} \\$$$$\mathrm{13}=\mathrm{9}+\mathrm{3}+\mathrm{1} \\$$$$\mathrm{When}\:\mathrm{you}\:\mathrm{add}\:\mathrm{27}\:\mathrm{you}\:\mathrm{can}\:\mathrm{get}\:\mathrm{27}−\left(\mathrm{1}\:\mathrm{to}\:\mathrm{13}\right)\:\mathrm{to} \\$$$$\mathrm{27}+\left(\mathrm{1}\:\mathrm{to}\:\mathrm{13}\right).\:\mathrm{Since}\:\mathrm{1}\:\mathrm{to}\:\mathrm{13}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{contructed} \\$$$$\mathrm{without}\:\mathrm{using}\:\mathrm{27kg}\:\mathrm{weight}. \\$$$$\mathrm{Since}\:\mathrm{we}\:\mathrm{can}\:\mathrm{put}\:\mathrm{weights}\:\mathrm{on}\:\mathrm{both}\:\mathrm{sides}\:\mathrm{of} \\$$$$\mathrm{balancr}\:\mathrm{subtraction}\:\mathrm{is}\:\mathrm{allowed}. \\$$
Commented by prakash jain last updated on 07/Dec/15
$$\mathrm{Suppose}\:\mathrm{you}\:\mathrm{have}\:{n}\:\mathrm{weight}.\:\mathrm{The}\:\mathrm{possible} \\$$$$\mathrm{weights}\:\mathrm{that}\:\mathrm{you}\:\mathrm{can}\:\mathrm{create}\:\left(\mathrm{including}\right. \\$$$$\left.−\mathrm{ve}\:\mathrm{and}\:\mathrm{duplicates}\right)\:\mathrm{are}. \\$$$$\mathrm{choose}\:\mathrm{1}\:\mathrm{and}\:\mathrm{put}\:\mathrm{a}\:+/−\:\mathrm{sign}\:\mathrm{before}\:\mathrm{it}=\mathrm{2}\:^{{n}} {C}_{\mathrm{1}} \\$$$$\mathrm{choose}\:\mathrm{2}\:\mathrm{and}\:\mathrm{put}\:\mathrm{a}\:+/−\:\mathrm{sign}\:\mathrm{before}\:\mathrm{each}=\mathrm{2}^{\mathrm{2}} \:^{{n}} {C}_{\mathrm{2}} \\$$$$\mathrm{and}\:\mathrm{so}\:\mathrm{on}\: \\$$$$\mathrm{So}\:\mathrm{total}\:\mathrm{number}\:\mathrm{of}\:\mathrm{sum}\:\mathrm{that}\:\mathrm{you}\:\mathrm{can} \\$$$$\mathrm{obtain}\:\mathrm{with}\:{n}\:+{ve}\:\mathrm{numbers}\:\mathrm{are}=\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\mathrm{2}^{{i}} \:^{{n}} {C}_{{i}} \\$$$$\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}\right)^{{n}} =\:^{{n}} {C}_{\mathrm{0}} +\mathrm{2}\centerdot\:^{{n}} {C}_{\mathrm{1}} +\mathrm{2}^{\mathrm{2}} \:^{{n}} {C}_{\mathrm{2}} +…+\mathrm{2}^{{n}} \:^{{n}} {C}_{{n}} \\$$$$\mathrm{3}^{{n}} =\mathrm{1}+\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\:\mathrm{2}^{{i}} \:^{{n}} {C}_{{i}} \\$$$$\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\:\mathrm{2}^{{i}} \:^{{n}} {C}_{{i}} =\mathrm{3}^{{n}} −\mathrm{1} \\$$$${with}\:\mathrm{3}\:+\mathrm{ve}\:{number}\:{you}\:{can}\:{create}=\mathrm{3}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}=\mathrm{26}\: \\$$$$\mathrm{half}\:\mathrm{of}\:\mathrm{them}\:\mathrm{will}\:\mathrm{be}\:−\mathrm{ve}\:\mathrm{so}\:\mathrm{13}\:+\mathrm{ve}\:\mathrm{number}. \\$$$$\mathrm{with}\:\mathrm{4}\:+\mathrm{ve}\:\mathrm{number}\:\mathrm{you}\:\mathrm{can}\:\mathrm{create}\:\mathrm{3}^{\mathrm{4}} −\mathrm{1}=\mathrm{80} \\$$$$\mathrm{or}\:\mathrm{40}\:+\mathrm{ve}\:\mathrm{numbers}. \\$$$$\mathrm{This}\:\mathrm{proves}\:\mathrm{that}\:\mathrm{you}\:\mathrm{need}\:\mathrm{a}\:\mathrm{minimum}\:\mathrm{of} \\$$$$\mathrm{4}\:\mathrm{weights}\:\mathrm{to}\:\mathrm{create}\:\mathrm{40}\:+\mathrm{ve}\:\mathrm{results}. \\$$$$\mathrm{Solving}\:\mathrm{the}\:\mathrm{question}\:\mathrm{is}\:\mathrm{about}\:\mathrm{finding}\:\mathrm{4}\:\mathrm{numbers} \\$$$$\mathrm{so}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sums}\:\mathrm{are}\:\mathrm{1}\:\mathrm{to}\:\mathrm{40}. \\$$
Commented by Yozzi last updated on 06/Dec/15
$${Ah},\:{I}\:{now}\:{understand}.\:{It}'{s}\:{the}\:{thought} \\$$$${behind}\:{it}\:{that}\:{I}\:{wanted}\:{to}\:{grasp}.\: \\$$