Question Number 133934 by liberty last updated on 25/Feb/21
$$\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}+\mathrm{3}\right)^{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6x}+\mathrm{4}} \:\leqslant\:\mathrm{1} \\ $$
Answered by EDWIN88 last updated on 25/Feb/21
![(i) x^2 −4x+3 > 0 ; { ((x<1)),((x>3)) :} (ii) ln (x^2 −4x+3)^(x^2 −6x+4) ≤ ln 1 ⇒(x^2 −6x+4)ln (x^2 −4x+3) ≤ 0 { ((x^2 −6x+4=0⇒x_1 =3+(√5) ; x_2 =3−(√5))),((ln (x^2 −4x+3) =0⇒x^2 −4x+3=1 ; x_1 =2+(√2) ;x_2 =2−(√2))) :} ___+ − + + − − ___ 2−(√2) 3−(√5) 1 3 2+(√2) 3+(√5) solution set is [ 2−(√2) ; 3−(√5) ] ∪ [ 2+(√2) ; 3+(√5) ]](https://www.tinkutara.com/question/Q133935.png)
$$\left(\mathrm{i}\right)\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}+\mathrm{3}\:>\:\mathrm{0}\:;\:\begin{cases}{\mathrm{x}<\mathrm{1}}\\{\mathrm{x}>\mathrm{3}}\end{cases} \\ $$$$\left(\mathrm{ii}\right)\:\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}+\mathrm{3}\right)^{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6x}+\mathrm{4}} \:\leqslant\:\mathrm{ln}\:\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6x}+\mathrm{4}\right)\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}+\mathrm{3}\right)\:\leqslant\:\mathrm{0} \\ $$$$\:\begin{cases}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6x}+\mathrm{4}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{x}_{\mathrm{1}} =\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{5}}\:;\:\mathrm{x}_{\mathrm{2}} =\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{5}}}\\{\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}+\mathrm{3}\right)\:=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}+\mathrm{3}=\mathrm{1}\:;\:\mathrm{x}_{\mathrm{1}} =\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}\:;\mathrm{x}_{\mathrm{2}} =\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{2}}}\end{cases} \\ $$$$\:\_\_\_+\:\:\:\:\:\:\:−\:\:\:\:\:\:\:\:+\:\:\:\:\:\:\:+\:\:\:\:\:−\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\:\:\:\_\_\_ \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{2}}\:\:\:\:\:\:\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{5}}\:\:\:\:\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\mathrm{3}\:\:\:\:\:\:\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}\:\:\:\:\:\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{5}} \\ $$$$\:\mathrm{solution}\:\mathrm{set}\:\mathrm{is}\:\left[\:\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{2}}\:;\:\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{5}}\:\right]\:\cup\:\left[\:\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}\:;\:\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{5}}\:\right] \\ $$$$ \\ $$
Answered by bobhans last updated on 25/Feb/21
![⇔ (x^2 −4x+3)^(x^2 −6x+4) ≤ (x^2 −4x+3)^0 (x^2 −4x+3−1)(x^2 −6x+4−0) ≤ 0 (x^2 −4x+2)(x^2 −6x+4) ≤ 0 {(x−2)^2 −2}{(x−3)^2 −5} ≤ 0 (x−2+(√2))(x−2−(√2))(x−3+(√5))(x−3−(√5) ) ≤ 0 (x−(2−(√2) ))(x−(2+(√2) ))((x−(3−(√5)))(x−(3+(√5))) ≤ 0 ⇒x ∈ [ 2−(√2) , 3−(√5) ] ∪ [ 2+(√2) ,3+(√5) ]](https://www.tinkutara.com/question/Q133952.png)
$$\Leftrightarrow\:\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}+\mathrm{3}\right)^{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6x}+\mathrm{4}} \:\leqslant\:\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}+\mathrm{3}\right)^{\mathrm{0}} \\ $$$$\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}+\mathrm{3}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6x}+\mathrm{4}−\mathrm{0}\right)\:\leqslant\:\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6x}+\mathrm{4}\right)\:\leqslant\:\mathrm{0} \\ $$$$\left\{\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\right\}\left\{\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}\right\}\:\leqslant\:\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{5}}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{5}}\:\right)\:\leqslant\:\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{x}−\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{2}}\:\right)\right)\left(\mathrm{x}−\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}\:\right)\right)\left(\left(\mathrm{x}−\left(\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{5}}\right)\right)\left(\mathrm{x}−\left(\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{5}}\right)\right)\:\leqslant\:\mathrm{0}\right. \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}\:\in\:\left[\:\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{2}}\:,\:\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{5}}\:\right]\:\cup\:\left[\:\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}\:,\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{5}}\:\right] \\ $$$$ \\ $$