Question Number 204469 by DeArtist last updated on 18/Feb/24
$$\mathrm{Given}\:\mathrm{the}\:\mathrm{function}\:{f}\left({x}\right)\:=\:\begin{cases}{\mathrm{2},\:\mathrm{0}<\:{x}\:<\mathrm{2}}\\{−\mathrm{2},\:−\mathrm{2}\:<{x}\:<\:\mathrm{0}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{of}\:\mathrm{period}\:\mathrm{4} \\ $$$$\left(\mathrm{a}\right)\:\:\mathrm{sketch}\:\mathrm{the}\:\mathrm{graph}\:\mathrm{of}\:{y}\:=\:{f}\left({x}\right)\:,\:\mathrm{for}\:−\mathrm{6}\:<\:{x}\:<\:\mathrm{6} \\ $$$$\left(\mathrm{b}\right)\:\mathrm{Find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{Fourier}\:\mathrm{coefficient}\:{a}_{\mathrm{0}} ,\:{a}_{{n}} ,\:\mathrm{and}\:{b}_{{n}} \\ $$$$\left(\mathrm{c}\right)\:\mathrm{write}\:\mathrm{down}\:\mathrm{the}\:\mathrm{Fourier}\:\mathrm{series}.\: \\ $$$$\left(\mathrm{d}\right)\:\mathrm{hence}\:\mathrm{show}\:\mathrm{that}\:\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}}\:=\:\frac{\pi}{\mathrm{4}} \\ $$
Answered by witcher3 last updated on 19/Feb/24
$$\mathrm{a}_{\mathrm{0}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int_{−\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\int_{−\mathrm{2}} ^{\mathrm{0}} −\mathrm{2dx}+\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}} \mathrm{2dx}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{−\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{cos}\left(\frac{\pi\mathrm{nx}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left\{\int_{−\mathrm{2}} ^{\mathrm{0}} −\mathrm{2cos}\left(\frac{\pi\mathrm{nx}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{xx}+\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}} \mathrm{2cos}\left(\frac{\pi\mathrm{nx}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{dx}\right\}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{b}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left\{\int_{−\mathrm{2}} ^{\mathrm{0}} −\mathrm{2sin}\left(\frac{\pi\mathrm{nx}}{\mathrm{2}}\right)+\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}} \mathrm{2sin}\left(\frac{\pi\mathrm{nx}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{dx}\right\} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[\frac{\mathrm{4}}{\pi\mathrm{n}}\mathrm{cos}\left(\frac{\pi\mathrm{nx}}{\mathrm{2}}\right)\right]_{−\mathrm{2}} ^{\mathrm{0}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[−\frac{\mathrm{4}}{\pi\mathrm{n}}\mathrm{cos}\left(\frac{\pi\mathrm{nx}}{\mathrm{2}}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\pi\mathrm{n}}\left[\left(\mathrm{1}−\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} −\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} +\mathrm{1}\right)=\begin{cases}{\mathrm{0},\mathrm{n}=\mathrm{2k}}\\{\mathrm{4}\:;\mathrm{n}=\mathrm{2k}−\mathrm{1}}\end{cases}\right. \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{\mathrm{8}}{\pi\left(\mathrm{2n}−\mathrm{1}\right)}\mathrm{sin}\left(\frac{\pi\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2n}−\mathrm{1}\right)\right);\mathrm{for}\:\mathrm{x}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{2}=\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{\mathrm{8}}{\pi\left(\mathrm{2n}−\mathrm{1}\right)}\mathrm{sin}\left(\pi\pi−\frac{\pi}{\mathrm{2}}\right)=\frac{\mathrm{8}}{\pi}\Sigma\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{2n}−\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\Leftrightarrow\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{2n}−\mathrm{1}\right)}=\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{8}}=\frac{\pi}{\mathrm{4}} \\ $$
Commented by DeArtist last updated on 19/Feb/24
$$\mathrm{I}\:\mathrm{appreciate}\:\mathrm{your}\:\mathrm{efforts} \\ $$