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Find-all-real-solution-3x-2-x-1-x-2-2x-3-3x-2-3x-5-x-2-3-

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Question Number 204712 by cortano12 last updated on 26/Feb/24
Find all real solution (√(3x^2 +x−1)) +(√(x^2 −2x−3)) = (√(3x^2 +3x+5)) + (√(x^2 +3))
$$\mathrm{Find}\:\mathrm{all}\:\mathrm{real}\:\mathrm{solution}\: \\ $$$$\:\:\:\:\sqrt{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}−\mathrm{1}}\:+\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}−\mathrm{3}}\:=\: \\ $$$$\:\:\sqrt{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3x}+\mathrm{5}}\:+\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}}\: \\ $$
Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 26/Feb/24
(√(3x^2 +x−1)) +(√(x^2 −2x−3)) = (√(3x^2 +3x+5)) + (√(x^2 +3)) x^2 −2x−3≥0 (x−3)(x+1)≥0 { ((x−3≥0 ∧ x+1≥0)),((x−3<0 ∧ x+1<0)) :} { ((x≥3 ∧ x≥−1⇒x≥3)),((x<3 ∧ x<−1⇒x<−1)) :} ⇒x≥3 ∨ x<−1 ....
$$\:\:\:\:\sqrt{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}−\mathrm{1}}\:+\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}−\mathrm{3}}\:=\:\sqrt{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3x}+\mathrm{5}}\:+\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}}\: \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}−\mathrm{3}\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\left({x}−\mathrm{3}\right)\left({x}+\mathrm{1}\right)\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\begin{cases}{{x}−\mathrm{3}\geqslant\mathrm{0}\:\wedge\:{x}+\mathrm{1}\geqslant\mathrm{0}}\\{{x}−\mathrm{3}<\mathrm{0}\:\wedge\:{x}+\mathrm{1}<\mathrm{0}}\end{cases} \\ $$$$\begin{cases}{{x}\geqslant\mathrm{3}\:\wedge\:{x}\geqslant−\mathrm{1}\Rightarrow{x}\geqslant\mathrm{3}}\\{{x}<\mathrm{3}\:\wedge\:{x}<−\mathrm{1}\Rightarrow{x}<−\mathrm{1}}\end{cases} \\ $$$$\Rightarrow{x}\geqslant\mathrm{3}\:\vee\:{x}<−\mathrm{1} \\ $$$$…. \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 26/Feb/24
•(((3x^2 +x−1)+(3x^2 +3x+5))/2)=3x^2 +2x+2=a •(((x^2 −2x−3)+(x^2 +3))/2)=x^2 −x (√(3x^2 +x−1)) − (√(3x^2 +3x+5)) = (√(x^2 +3)) −(√(x^2 −2x−3)) ⇒(√((3x^2 +2x+2)−(x+3))) −(√((3x^2 +2x+2)+(x+3))) =(√((x^2 −x)+(x+3))) −(√((x^2 −x)−(x+3))) ⇒(√(a−c)) −(√(a+c)) =(√(b+c)) −(√(b−c)) where, a=3x^2 +2x+2 , b=x^2 −x ,c=x+3 Squaring: 2a−2(√(a^2 −c^2 )) =2b−2(√(b^2 −c^2 )) a−(√(a^2 −c^2 )) =b−(√(b^2 −c^2 )) (√(a^2 −c^2 )) −(√(b^2 −c^2 )) =a−b ( (√(a^2 −c^2 )) −(√(b^2 −c^2 )) )^2 =(a−b)^2 a^2 +b^2 −2c^2 −2(√(a^2 −c^2 ))(√(b^2 −c^2 )) =a^2 +b^2 −2ab −2c^2 −2(√(a^2 −c^2 ))(√(b^2 −c^2 )) =−2ab c^2 +(√(a^2 −c^2 ))(√(b^2 −c^2 )) =ab (√(a^2 −c^2 ))(√(b^2 −c^2 )) =ab−c^2 (a^2 −c^2 )(b^2 −c^2 )=a^2 b^2 +c^4 −2abc^2 a^2 b^2 −(a^2 +b^2 )c^2 +c^4 =a^2 b^2 +c^4 −2abc^2 −(a^2 +b^2 )c^2 =−2abc^2 (a^2 +b^2 )c^2 −2abc^2 =0 c^2 (a−b)^2 =0 c=0 ∣ a=b x+3=0 ∣ 3x^2 +2x+2=x^2 −x x=−3 ✓ ∣ 2x^2 +3x+2=0 x=((−3±(√(9−16)))/4)=((−3±i(√7) )/4)∉R x=−3 ✓
$$\bullet\frac{\left(\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)+\left(\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3x}+\mathrm{5}\right)}{\mathrm{2}}=\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}+\mathrm{2}={a} \\ $$$$\bullet\frac{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}−\mathrm{3}\right)+\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\right)}{\mathrm{2}}={x}^{\mathrm{2}} −{x} \\ $$$$\:\sqrt{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}−\mathrm{1}}\:−\:\sqrt{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3x}+\mathrm{5}}\:=\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}}\:−\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}−\mathrm{3}}\: \\ $$$$\Rightarrow\sqrt{\left(\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}+\mathrm{2}\right)−\left({x}+\mathrm{3}\right)}\:−\sqrt{\left(\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}+\mathrm{2}\right)+\left({x}+\mathrm{3}\right)}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:=\sqrt{\left({x}^{\mathrm{2}} −{x}\right)+\left({x}+\mathrm{3}\right)}\:−\sqrt{\left({x}^{\mathrm{2}} −{x}\right)−\left({x}+\mathrm{3}\right)}\: \\ $$$$\Rightarrow\sqrt{{a}−{c}}\:−\sqrt{{a}+{c}}\:=\sqrt{{b}+{c}}\:−\sqrt{{b}−{c}}\: \\ $$$${where},\:{a}=\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}+\mathrm{2}\:,\:{b}={x}^{\mathrm{2}} −{x}\:,{c}={x}+\mathrm{3} \\ $$$${Squaring}: \\ $$$$\:\:\:\mathrm{2}{a}−\mathrm{2}\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −{c}^{\mathrm{2}} \:}\:=\mathrm{2}{b}−\mathrm{2}\sqrt{{b}^{\mathrm{2}} −{c}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\:\:{a}−\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −{c}^{\mathrm{2}} \:}\:={b}−\sqrt{{b}^{\mathrm{2}} −{c}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\:\:\:\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −{c}^{\mathrm{2}} \:}\:−\sqrt{{b}^{\mathrm{2}} −{c}^{\mathrm{2}} }\:={a}−{b} \\ $$$$\:\:\:\left(\:\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −{c}^{\mathrm{2}} \:}\:−\sqrt{{b}^{\mathrm{2}} −{c}^{\mathrm{2}} }\:\right)^{\mathrm{2}} =\left({a}−{b}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$${a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −{c}^{\mathrm{2}} \:}\sqrt{{b}^{\mathrm{2}} −{c}^{\mathrm{2}} }\:={a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{ab} \\ $$$$−\mathrm{2}{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −{c}^{\mathrm{2}} \:}\sqrt{{b}^{\mathrm{2}} −{c}^{\mathrm{2}} }\:=−\mathrm{2}{ab} \\ $$$${c}^{\mathrm{2}} +\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −{c}^{\mathrm{2}} \:}\sqrt{{b}^{\mathrm{2}} −{c}^{\mathrm{2}} }\:={ab} \\ $$$$\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −{c}^{\mathrm{2}} \:}\sqrt{{b}^{\mathrm{2}} −{c}^{\mathrm{2}} }\:={ab}−{c}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\left({a}^{\mathrm{2}} −{c}^{\mathrm{2}} \right)\left({b}^{\mathrm{2}} −{c}^{\mathrm{2}} \right)={a}^{\mathrm{2}} {b}^{\mathrm{2}} +{c}^{\mathrm{4}} −\mathrm{2}{abc}^{\mathrm{2}} \\ $$$${a}^{\mathrm{2}} {b}^{\mathrm{2}} −\left({a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} \right){c}^{\mathrm{2}} +{c}^{\mathrm{4}} ={a}^{\mathrm{2}} {b}^{\mathrm{2}} +{c}^{\mathrm{4}} −\mathrm{2}{abc}^{\mathrm{2}} \\ $$$$−\left({a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} \right){c}^{\mathrm{2}} =−\mathrm{2}{abc}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\left({a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} \right){c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{abc}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$${c}^{\mathrm{2}} \left({a}−{b}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$${c}=\mathrm{0}\:\mid\:{a}={b} \\ $$$${x}+\mathrm{3}=\mathrm{0}\:\:\mid\:\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}+\mathrm{2}={x}^{\mathrm{2}} −{x} \\ $$$${x}=−\mathrm{3}\:\checkmark\:\mid\:\:\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}+\mathrm{2}=\mathrm{0} \\ $$$${x}=\frac{−\mathrm{3}\pm\sqrt{\mathrm{9}−\mathrm{16}}}{\mathrm{4}}=\frac{−\mathrm{3}\pm{i}\sqrt{\mathrm{7}}\:}{\mathrm{4}}\notin\mathbb{R} \\ $$$${x}=−\mathrm{3}\:\checkmark \\ $$
Answered by mr W last updated on 26/Feb/24
(√(3x^2 +x−1))−(√(x^2 +3))=(√(3x^2 +3x+5))−(√(x^2 −2x−3)) 3x^2 +x−1+x^2 +3−2(√((3x^2 +x−1)(x^2 +3)))=3x^2 +3x+5+x^2 −2x−3−2(√((3x^2 +3x+5)(x^2 −2x−3))) (√((3x^2 +x−1)(x^2 +3)))=(√((3x^2 +3x+5)(x^2 −2x−3))) (3x^2 +x−1)(x^2 +3)=(3x^2 +3x+5)(x^2 −2x−3) 2x^3 +9x^2 +11x+6=0 (x+3)(2x^2 +3x+2)=0 real roots: x=−3
$$\sqrt{\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +{x}−\mathrm{1}}−\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}}=\sqrt{\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}+\mathrm{5}}−\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}−\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +{x}−\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}−\mathrm{2}\sqrt{\left(\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +{x}−\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\right)}=\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}+\mathrm{5}+{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}−\mathrm{3}−\mathrm{2}\sqrt{\left(\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}+\mathrm{5}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}−\mathrm{3}\right)} \\ $$$$\sqrt{\left(\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +{x}−\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\right)}=\sqrt{\left(\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}+\mathrm{5}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}−\mathrm{3}\right)} \\ $$$$\left(\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +{x}−\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\right)=\left(\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}+\mathrm{5}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}−\mathrm{3}\right) \\ $$$$\mathrm{2}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{9}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{11}{x}+\mathrm{6}=\mathrm{0} \\ $$$$\left({x}+\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}+\mathrm{2}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${real}\:{roots}:\:{x}=−\mathrm{3} \\ $$
Answered by Frix last updated on 26/Feb/24
Obvious at 2^(nd) glance: (√(3x^2 +x−1))+(√(x^2 −2x−3))= =(√(3x^2 +x−1+(2x+6)))+(√(x^2 −2x−3+(2x+6))) ⇒ 2x+6=0 x=−3 No other solutions ∈C
$$\mathrm{Obvious}\:\mathrm{at}\:\mathrm{2}^{\mathrm{nd}} \:\mathrm{glance}: \\ $$$$\sqrt{\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +{x}−\mathrm{1}}+\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}−\mathrm{3}}= \\ $$$$=\sqrt{\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +{x}−\mathrm{1}+\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{6}\right)}+\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}−\mathrm{3}+\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{6}\right)} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{2}{x}+\mathrm{6}=\mathrm{0} \\ $$$${x}=−\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{No}\:\mathrm{other}\:\mathrm{solutions}\:\in\mathbb{C} \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 26/Feb/24
(√(3x^2 +x−1)) −(√(3x^2 +3x+5)) = (√(x^2 +3)) −(√(x^2 −2x−3)) (( 3x^2 +x−1 −3x^2 −3x−5 )/( (√(3x^2 +x−1)) +(√(3x^2 +3x+5)) ))=((x^2 +3 −x^2 +2x+3 )/( (√(x^2 +3)) +(√(x^2 −2x−3)) )) (( −2x−6 )/( (√(3x^2 +x−1)) +(√(3x^2 +3x+5)) ))=((2x+6 )/( (√(x^2 +3)) +(√(x^2 −2x−3)) )) (( −(2x+6) )/( (√(3x^2 +x−1)) +(√(3x^2 +3x+5)) ))−((2x+6 )/( (√(x^2 +3)) +(√(x^2 −2x−3)) ))=0 (2x+6)(((−1 )/( (√(3x^2 +x−1)) +(√(3x^2 +3x+5)) ))−(1/( (√(x^2 +3)) +(√(x^2 −2x−3)) )))=0 2x+6=0⇒x=−3 ✓
$$\:\sqrt{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}−\mathrm{1}}\:−\sqrt{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3x}+\mathrm{5}}\:=\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}}\:−\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}−\mathrm{3}}\: \\ $$$$\frac{\:\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}−\mathrm{1}\:−\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}−\mathrm{5}\:}{\:\sqrt{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}−\mathrm{1}}\:+\sqrt{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3x}+\mathrm{5}}\:}=\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\:−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}+\mathrm{3}\:}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}}\:+\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}−\mathrm{3}}\:} \\ $$$$\frac{\:−\mathrm{2}{x}−\mathrm{6}\:}{\:\sqrt{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}−\mathrm{1}}\:+\sqrt{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3x}+\mathrm{5}}\:}=\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{6}\:}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}}\:+\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}−\mathrm{3}}\:} \\ $$$$\frac{\:−\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{6}\right)\:}{\:\sqrt{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}−\mathrm{1}}\:+\sqrt{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3x}+\mathrm{5}}\:}−\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{6}\:}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}}\:+\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}−\mathrm{3}}\:}=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{6}\right)\left(\frac{−\mathrm{1}\:}{\:\sqrt{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}−\mathrm{1}}\:+\sqrt{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3x}+\mathrm{5}}\:}−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}}\:+\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}−\mathrm{3}}\:}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{2}{x}+\mathrm{6}=\mathrm{0}\Rightarrow{x}=−\mathrm{3}\:\checkmark \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 27/Feb/24
(√(3x^2 +x−1)) _(a) −(√(3x^2 +3x+5)) _(b) =(√(x^2 +3)) _(c) −(√(x^2 −2x−3)) _(d) a−b=c−d^★ a^2 −b^2 =(3x^2 +x−1)−(3x^2 +3x+5) =−2x−6=−(2x+6) c^2 −d^2 =(x^2 +3)−(x^2 −2x−3) =2x+6 Hence, a^2 −b^2 =−(c^2 −d^2 ) ∧ a−b=c−d (a−b)(a+b)=−(c−d)(c+d) ∧ a−b=c−d (a−b)(a+b)=−(a−b)(c+d) (a−b)(a+b)+(a−b)(c+d)=0 (a−b)(a+b+c+d)=0 a=b ∣ a+b=−c−d { ((a=b)),(( a+b=−c−d ∧ a−b=c−d^★ )) :} { (((√(3x^2 +x−1)) =(√(3x^2 +3x+5)))),(( a+b=−c−d ∧ a−b=c−d^★ )) :} { (( 3x^2 +x−1 =3x^2 +3x+5 )),(( 2a=−2d⇒a=−d )) :} { (( 2x+6=0⇒x=−3 )),(( (√(3x^2 +x−1)) =(√(x^2 −2x−3)) )) :} { (( −−−−−)),(( 3x^2 +x−1 =x^2 −2x−3 ⇒2x^2 +3x+2=0⇒x∉R )) :}
$$\underset{{a}} {\underbrace{\sqrt{\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +{x}−\mathrm{1}}\:}}−\underset{{b}} {\underbrace{\sqrt{\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}+\mathrm{5}}\:}}=\underset{{c}} {\underbrace{\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}}\:}}−\underset{{d}} {\underbrace{\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}−\mathrm{3}}\:}}\: \\ $$$${a}−{b}={c}−{d}^{\bigstar} \\ $$$${a}^{\mathrm{2}} −{b}^{\mathrm{2}} =\left(\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +{x}−\mathrm{1}\right)−\left(\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}+\mathrm{5}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=−\mathrm{2}{x}−\mathrm{6}=−\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{6}\right) \\ $$$${c}^{\mathrm{2}} −{d}^{\mathrm{2}} =\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\right)−\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}−\mathrm{3}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{2}{x}+\mathrm{6} \\ $$$${Hence}, \\ $$$${a}^{\mathrm{2}} −{b}^{\mathrm{2}} =−\left({c}^{\mathrm{2}} −{d}^{\mathrm{2}} \right)\:\wedge\:{a}−{b}={c}−{d} \\ $$$$\left({a}−{b}\right)\left({a}+{b}\right)=−\left({c}−{d}\right)\left({c}+{d}\right)\:\wedge\:{a}−{b}={c}−{d} \\ $$$$\left({a}−{b}\right)\left({a}+{b}\right)=−\left({a}−{b}\right)\left({c}+{d}\right)\: \\ $$$$\left({a}−{b}\right)\left({a}+{b}\right)+\left({a}−{b}\right)\left({c}+{d}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\left({a}−{b}\right)\left({a}+{b}+{c}+{d}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${a}={b}\:\mid\:{a}+{b}=−{c}−{d} \\ $$$$\begin{cases}{{a}={b}}\\{\:{a}+{b}=−{c}−{d}\:\wedge\:{a}−{b}={c}−{d}^{\bigstar} \:}\end{cases}\: \\ $$$$\begin{cases}{\sqrt{\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +{x}−\mathrm{1}}\:=\sqrt{\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}+\mathrm{5}}}\\{\:{a}+{b}=−{c}−{d}\:\wedge\:{a}−{b}={c}−{d}^{\bigstar} \:}\end{cases}\: \\ $$$$\begin{cases}{\:\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +{x}−\mathrm{1}\:=\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}+\mathrm{5}\:}\\{\:\mathrm{2}{a}=−\mathrm{2}{d}\Rightarrow{a}=−{d}\:}\end{cases}\: \\ $$$$\begin{cases}{\:\mathrm{2}{x}+\mathrm{6}=\mathrm{0}\Rightarrow{x}=−\mathrm{3}\:}\\{\:\sqrt{\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +{x}−\mathrm{1}}\:\:=\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}−\mathrm{3}}\:\:}\end{cases}\:\:\: \\ $$$$\begin{cases}{\:−−−−−}\\{\:\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +{x}−\mathrm{1}\:\:={x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}−\mathrm{3}\:\Rightarrow\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}+\mathrm{2}=\mathrm{0}\Rightarrow{x}\notin\mathbb{R}\:}\end{cases}\:\:\: \\ $$

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